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Schuster Sibylle (Aleika)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 17:55: | 
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Hi,
könnte mir vielleicht einer helfen, das wäre echt toll
Sei m ein Element der natürlichen Zahlen, m>1. Beweisen Sie die
Ungleichung ln(m)+ln2+1/2m > 1+1/2+...+1/m durch eine geeignete
Abschätzung der Fläche unter dem Graphen von f(x)=1/x mit geeigneten
Tangententrapezen. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 20:33: |
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Hallo :
Betrachte fuer k = 1,...,m das Trapez T_k ueber
dem Intervall [2k-1,2k+1], dessen eine Seite die
Kurve y = 1/x im Punkt (2k,1/2k) tangiert.
Elementare Rechnung zeigt, dass
Inhalt(T_k) = 1/k
Daher
1/k > ln(2k+1) - ln(2k-1)
Addiert man diese Ungleichungen fuer k=1,...,m,
so folgt (rechts steht eine Teleskopsumme !)
1 + 1/2 + ... + 1/m < ln(2m+1).
Das ist sogar mehr als verlangt, denn
offenbar ist
ln(2m+1) < ln(2m) + 1/2m.
Hans |
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