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Eigenwerte

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Lineare Algebra » Matrizen » Eigenwerte « Zurück Vor »

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Martin Jonas (Jonas)
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Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 20:16:   Beitrag drucken

Kann mir bitte jemand helfen die folgende Aufgabe "schrittweise" zu lösen:

Bestimmen Sie ale Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren der symetrischen Matrix:

1 2 3
A= 2 -4 -2
3 -2 1
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Martin Jonas (Jonas)
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Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 20:19:   Beitrag drucken

Kann mir jemand sagen, wie die Reflexivität, Symetrie, Transitivität und die Äquivalenzklasse für folgende Aufgabe aussieht:

Sei P eine Menge von Personen. Zeigen Sie, daß die druch G={(p,q € P x P : p und q haben am gleichen Wochentag Geburtstag} definierte Relation eine Äquivalenzrelation in P ist! Welche Personen sind in einer Äquivalenzklasse?
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Martin Jonas (Jonas)
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Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 20:21:   Beitrag drucken

Wie geht man an so eine Aufgabe am besten ran?
Mit hilfe von Ranguntersuchungen ist zu entscheiden, ob das lineare Gleichungssystem
3 x1 + 2 x2 - x4 =5
4 x2 + 2 x3 - 3 x4 =3
4 x1 - 2x4 =2

lösbar ist? Ist die Lösung eindeutig bestimmt?

VIELEN DANK
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 17:49:   Beitrag drucken

Hi Martin Jonas,

Um die Eigenwerte zu bestimmen , ermitteln wir
die sogenannte charakteristische Gleichung in L,
die durch Nullsetzen einer aus der gegebenen Matrix A
hergeleiteten Determinante einer zweiten Matrix
B = A -L*E entsteht. (E: (3,3)-Einheitsmatrix )
entsteht.
In der Matrix B stehen in der Hauptdiagonalen die Elemente
b11 = a11 - L = 1- L, b22 = a22 - L = - 4 - L,
b33 = a33 - L = 1 - L
Die übrigen Elemente von B stimmen mit jenen von A überein

Entwickelt man D = det (B) ,so erhalten wir eine kubische
Gleichung für L ,eben die charakteristische Gleichung
(anderer Name:: Säkulargleichung).
Im vorliegenden Fall lautet diese Gleichung:
- L^3 - 2 L^2 + 24 L = 0
mit den Lösungen L1 = 0 , L2 = 4 , L3 = - 6 ,
welche die gesuchten Eigenwerte darstellen.
Die beiden letzten Lösungen ergeben sich aus der
quadratischen Gleichung L^2 + 2 L - 24 = 0.

Ermittlung der Eigenvektoren.

Wir normieren alle drei Eigenvektoren so,
dass die dritte Koordinate Z des Eigenvektors eins ist.
Zu jedem Eigenwert gehört ein Eigenvektor dieser Art.
Die beiden andern Koordinaten X und Y berechnen wir aus
dem Gleichungssystem
(a11 - L)* X + a12 *Y + a13 = 0
a21 * X + (a22 - L)*Y + a23 = 0
Die dritte Zeile ist aus gutem Grunde in diesem Zusammenhang
irrelevant.
Für L ist der Reihe nach L1,L2,L3 einzusetzen.

(1)
zum Eigenwert L1 = 0 gehöriger Eigenvektor e1
Gleichungen
- X - 2 Y - 3 = 0
- 2X + 4 Y + 2 = 0
Lösungen: X = - 1 , Y = - 1 ; e1 ={-1;-1;1}

(2)
zum Eigenwert L2 = 4 gehöriger Eigenvektor e2
Gleichungen
3 X - 2 Y -3 = 0
-2 X + 8 Y + 2 = 0
Lösungen: X = 1, Y = 0 , e2 = {1;0;1}

(3)
zum Eigenwert L3 = - 6 gehöriger Eigenvektor e3
Gleichungen
- 7X - 2 Y - 3 = 0
- 2 X - 2 Y + 2 = 0
Lösungen X = - 1 , Y = 2 , e3 = {-1;2;1}

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.

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