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Martin Jonas (Jonas)
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 20:16: |
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Kann mir bitte jemand helfen die folgende Aufgabe "schrittweise" zu lösen: Bestimmen Sie ale Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren der symetrischen Matrix: 1 2 3 A= 2 -4 -2 3 -2 1 |
Martin Jonas (Jonas)
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 20:19: |
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Kann mir jemand sagen, wie die Reflexivität, Symetrie, Transitivität und die Äquivalenzklasse für folgende Aufgabe aussieht: Sei P eine Menge von Personen. Zeigen Sie, daß die druch G={(p,q € P x P : p und q haben am gleichen Wochentag Geburtstag} definierte Relation eine Äquivalenzrelation in P ist! Welche Personen sind in einer Äquivalenzklasse? |
Martin Jonas (Jonas)
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 20:21: |
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Wie geht man an so eine Aufgabe am besten ran? Mit hilfe von Ranguntersuchungen ist zu entscheiden, ob das lineare Gleichungssystem 3 x1 + 2 x2 - x4 =5 4 x2 + 2 x3 - 3 x4 =3 4 x1 - 2x4 =2 lösbar ist? Ist die Lösung eindeutig bestimmt? VIELEN DANK |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 17:49: |
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Hi Martin Jonas, Um die Eigenwerte zu bestimmen , ermitteln wir die sogenannte charakteristische Gleichung in L, die durch Nullsetzen einer aus der gegebenen Matrix A hergeleiteten Determinante einer zweiten Matrix B = A -L*E entsteht. (E: (3,3)-Einheitsmatrix ) entsteht. In der Matrix B stehen in der Hauptdiagonalen die Elemente b11 = a11 - L = 1- L, b22 = a22 - L = - 4 - L, b33 = a33 - L = 1 - L Die übrigen Elemente von B stimmen mit jenen von A überein Entwickelt man D = det (B) ,so erhalten wir eine kubische Gleichung für L ,eben die charakteristische Gleichung (anderer Name:: Säkulargleichung). Im vorliegenden Fall lautet diese Gleichung: - L^3 - 2 L^2 + 24 L = 0 mit den Lösungen L1 = 0 , L2 = 4 , L3 = - 6 , welche die gesuchten Eigenwerte darstellen. Die beiden letzten Lösungen ergeben sich aus der quadratischen Gleichung L^2 + 2 L - 24 = 0. Ermittlung der Eigenvektoren. Wir normieren alle drei Eigenvektoren so, dass die dritte Koordinate Z des Eigenvektors eins ist. Zu jedem Eigenwert gehört ein Eigenvektor dieser Art. Die beiden andern Koordinaten X und Y berechnen wir aus dem Gleichungssystem (a11 - L)* X + a12 *Y + a13 = 0 a21 * X + (a22 - L)*Y + a23 = 0 Die dritte Zeile ist aus gutem Grunde in diesem Zusammenhang irrelevant. Für L ist der Reihe nach L1,L2,L3 einzusetzen. (1) zum Eigenwert L1 = 0 gehöriger Eigenvektor e1 Gleichungen - X - 2 Y - 3 = 0 - 2X + 4 Y + 2 = 0 Lösungen: X = - 1 , Y = - 1 ; e1 ={-1;-1;1} (2) zum Eigenwert L2 = 4 gehöriger Eigenvektor e2 Gleichungen 3 X - 2 Y -3 = 0 -2 X + 8 Y + 2 = 0 Lösungen: X = 1, Y = 0 , e2 = {1;0;1} (3) zum Eigenwert L3 = - 6 gehöriger Eigenvektor e3 Gleichungen - 7X - 2 Y - 3 = 0 - 2 X - 2 Y + 2 = 0 Lösungen X = - 1 , Y = 2 , e3 = {-1;2;1} Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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