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Beitrag |
    
Lars300775
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 09:10: | 
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Hallo, wer kann mir weiterhelfen ?
Folgendes Problem:
Gib alle Paare (n,m) aus IN an, die der Gleichung:
n^m = m^n genügen (z.B. 2^4 = 16 = 4^2) !!! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 14:10: |
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Hallo :
Das ist eigentlich eine zahlentheoretische Aussage. Will man aber partout Analysis anwenden,
so kann man vielleicht so argumentieren :
Schreibe die Gleichung um in
m^(1/m) = n^(1/n)
und betrachte die Funktion
f(x) := x^(1/x) = exp{(1/x) ln(x)} , x >= 3.
Wegen
f'(x) = (1/x^2){1 - ln(x)} < 0 fŸr x >= 3
ist f also streng monoton fallend und somit
injektiv, d.h. :
f(x) = f(y) ==> x = y.
Hans |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 14:58: |
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Sorry, bei f'(x) vergass ich den Faktor x^(1/x),
es bleibt aber sonst alles gueltig.
Hans |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 15:01: |
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Sorry, bei f'(x) vergass ich den Faktor x^(1/x),
es bleibt aber alles gültig.
Hans |
Tobias Hübner (Huebi)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 22:34: |
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Versuche es über Primfaktorzerlegung!
m^n = n^m
=> n = p1^v1 * .... pk^vk
m = p1^w1 * .... pl^wl
=> Sei p Primzahl mit p | m
=> p | m^n
=> p | n^m, wegen m^n = n^m
=> p | n
irgendwie ging das jetzt weiter, ...
=> (2,2),(4,2),(2,4) sind die einzigen Lösungen aus N die
das Gewünschte leisten. |
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