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Swana Raaz (Swana)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 13:31: | 
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In einem Tetraeder sind alle Kanten gleich lang und alle von den Kanten eingeschlossene Winkel gleich groß. Beweise, dass je zwei gegenüberliegende (zueinander windschiefe) Kanten zueinander orthogonal sind.
Ich bin da mehr als nur überfragt! Ich bedanke mich schon mal im Voraus für die Bemühungen. Danke!
Swana |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 13:34: |
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Hi Swana ,
Bei Deiner Aufgabe handelt es sich um ein
reguläres Tetraeder ; sämtliche vier
Begrenzungsflächen sind regelmässige Dreiecke mit
der gegebenen Seitenlänge s.
Zum Beweis des Satzes , dass je zwei gegenüberliegende
Kanten kreuzend senkrecht (windschief normal) sind,
führe ich Dir zwei Methoden vor
1 Koordinatenfreie Methode
2. Methode unter Benützung von Koordinaten
Zu (1)
Hilfreich ist eine Freihandskizze eines Tetraeders
mit den Ecken A , B , C , D
Vorwissen:
Für zwei Vektoren a und b mit dem Zwischenwinkel phi
gilt :
Das Skalarprodukt der Vektoren a und b berechnet man als
Produkt der Absolutbeträge (Längen) von a und b und dem
Kosinus des Zwischenwinkels (phi)
Skalarprodukt a b = abs (a) * abs (b) * cos (phi)
Wir führen die sechs Kantenvektoren ein, nämlich:
Vektor AB = a , Vektor BC = b ,Vektor CA = c
Vektor AD = d , Vektor BD = e , Vektor CD = f
Alle diese Vetoren haben den Betrag s
(Kantenlänge des Tetraeders)
Die folgende Vektorsumme stellt gerade den Nullvektor o
dar : a + b + f - d = o , wie man sich bei einer Wanderung
auf den Kanten des Tetraeders von A nach B, von B nach C,
von C nach D, von D zurück nach A (geschlossene Vektorkette)
überzeugt.
Wir multiplizieren nun beide Seiten der obigen Vektorgleichung
Mit dem Vektor f und lösen die Klammer auf:
( a + b + f - d ) f = o ; nach dem Distributivgesetz folgt daraus:
a f + b f + f f - d f = o ..............................................................(G)
wie sind die Skalarprodukte links zu deuten?
a f ist das Skalarprodukt der Seitenvektoren gegenüber liegender
Kanten ; wir können zeigen, dass dieses Produkt null ist und die
genannten Vektoren daher aufeinander senkrecht stehen;
damit ist dann der Beweis zu Ende.
b f ist - s ^ 2 / 2 ; bei der Berechnung des Skalarproduktes
ist zu beachten, dass der Winkel zwischen den Vektoren
120° (nicht 60°) beträgt und dass daher cos (phi) = - 1/2
einzusetzen ist .
d f ist s ^ 2 / 2 ; der Zwischenwinkel der Vektoren ist 60° , daher
cos (phi) = 1/2
f f ist s ^ 2 (Zwischenwinkel 0°)
Somit wird aus der obigen Gleichung (G)
a f - ½* s ^ 2 + s ^ 2 -1/2s^2 = 0 darau wie angekündigt
a f = 0 , w.z.b.w.
Fortsetzung mit der zweiten Methode folgt später.
Freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 14:17: |
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Hi Swana
Das Kernstück des vorigen Beweises bestand im
Nachweis, dass das Skalarprodukt der
Kantenvektoren gegenüberliegender Seiten null ist
Daraus folgt bekanntlich die Orthogonalität dieser
Vektoren
Was für ein bestimmtes Paar solcher Kanten gilt , gilt
auch für die beiden anderen Paare eo ipso .
Aehnliche Ueberlegungen gelten auch für unsere
zweite Beweismethode mittels Koordinaten
Zu (2)
Einen Würfel ABCD EFGH der Kantenlänge a
legen wir so in ein rechtwinkliges Koordinatensystem,
dass die Ecke A mit dem Nullpunkt O und die
Ecken B , D , E in dieser Reihenfolge auf der
x- , der y - und der z - Achse liegen .
Die Ecken A,C, H, F können als Ecken eines
regulären Tetraeders der Kantenlänge s = a* wurzel(2)
aufgefasst werden
(dieses ist das berühmte Tetraeder im Würfel)
Die Koordinaten der Ecken dieses Tetraeders sind:
A(0/0/0) , C(a/a/0), H ( (0/a/a), F(a/0/a)
Wir bestimmen die (gegenüberliegenden) Kantenvektoren
des Tetraeders:
u =AC = {a;a;0} , v = HF = {a;-a:0}
Ihr Skalarprodukt ist null : u v = a ^2 - a ^2 = 0
Die Vektoren und mit ihnen die Seitenkanten stehen somit
aufeinander senkrecht, w.z.b.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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