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nora
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 19:15: | 
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das problem ist dass ich zwar die lösung habe aber ich trotzdem nicht verstehe was wir da eigentlich gemacht haben.
aufgabe: zeigen sie:a)sup{1+1/n:n element aus N}=2
b)inf{1+1/n:n element aus N}=1
liegt ein maximum bzw.minimum vor?
lösung:
a) 1) obere schranke?
2>= 1+1/n
1<= n stimmt somit
2) kleinste obere schranke? beweis: indirekt
u sei eine kleinere obere schranke
u<2 , u>= 1+1/n
für n=1 u>=2 widerspruch! 2 liegt in der menge also ist es auch ein maximum.
(also das hab ich ja noch so halbwegs verstanden)
b)(das hab ich schon eher gar nicht mehr verstanden)
1) untere schranke?
1<= 1+1/n stimmt
2) grösste untere schranke?
u sei grössere untere schranke
u>1 , u<=1+1/n für n
(u-1)>0, (u-1)<=1/n daraus folgt: n<= 1/(u-1)
(obere schranke für natürliche zahlen)
N ist aber unbeschränkt: widerspruch
wäre sehr dankbar wenn mir das jem. erklären könnte, auch sehr wichtig weil ich 1. nicht die einzige bin dies nicht versteht und 2. das bis freitag können muss.
danke nora |
Ingo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 11:20: |
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Kein Problem nora.
Zu b)
Zunächst stellt sich die Frage,ob 1 überhaupt eine untere Schranke ist,d.h. alle Elemente der Menge sind größer oder gleich 1(liegen graphisch gesehen OBERHALB der eins). Als Gleichung geschrieben heißt das 1+1/n>1 was ja stimmt,denn auf der linken Seite addiert man ja zu eins immer ein klein wenig dazu(nämlich 1/n).
Jetzt bleibt die Frage bestehen,ob es eine größere untere Schranke gibt(zum Beispiel ist u=0 ja auch eine untere Schranke,denn 1+1/n>0 ist richtig).
Der Ansatz hierzu ist u>1 (weil die Schranke größer sein soll) und u<1+1/n (weil es eine UNTERE Schranke sein soll).
Zusammen geschrieben bedeutet das aber 1<u<1+1/n
die rechte Seite nähert sich beliebig genau dem Wert 1 an,so daß im Grenzfall(n->¥) 1<1 gelten müßte,was offensichtlich nicht der Fall ist. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 11:31: |
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Hallo Nora. es ist wirklich nicht schwer.
Ich versuch mal Schritt für Schritt die Lösung von Aufg. 2 zu erläutern.
Von der Menge M = {1 + 1/n | n Element aus IN} ist das Infimum a gesucht.
Das Infimum einer Menge ist die größte untere Schranke der Menge.
Es wird jetzt a = 1 behauptet. Um dies zu beweisen, ist also nachzuweisen
1. a = 1 ist eine untere Schranke,
2. es gibt keine größere untere Schranke.
Zu 1. Hier ist zu zeigen, dass a = 1 kleiner oder gleich jedem Element m aus M ist.
Sei m = 1 + 1/n ein beliebiges Element aus M. Dann gilt m = 1 + 1/n > 1 = a, da 1/n > 0. Also ist a < m.
Zu 2. Es wird angenommen, dass a = 1 nicht die größte untere Schranke ist (und diese Annahme dann zum Widerspruch geführt). Wenn das der Fall ist, müsste es eine untere Schranke u geben, die größer als a = 1 ist: u > 1.
Da u eine untere Schranke von M ist, muss u <= 1 + 1/n für alle n aus IN gelten. Dies ist gleichbedeutend mit u - 1 <= 1/n für alle n. In dieser Ungleichung wird der Kehrwert gebildet: 1/(u - 1) >= n für alle n aus IN.
Bei der Bildung des Kehrwertes ist jetzt aber das Folgende zu beachten: Da u > 1, ist u - 1 > 0. Also dreht sich das Ungleichheitzeichen bei der Kehrwertbildung um. (Allgemein gilt: Aus 0 < x <= y folgt 1/x >= 1/y.)
Noch einmal, was wir jetzt haben: n <= 1/(u - 1) für alle n aus IN... Hmmm, 1/(u - 1) ist eine Zahl, die größer ist als jede natürliche Zahl. Das kann nicht sein! Widerspruch. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 11:37: |
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Hallo Ingo, hast du auch Feiertag? :-) |
nora
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 12:54: |
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danke danke und nochmals danke!nora |
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