| Autor |
Beitrag |
    
Norman (Smudo2000)
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 18:56: | 
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Aufgabe 1:
Man ermittle zu jeder reellen Zahl a alle diejenigen Paare reeller Zahlen (x; y), die Lösungen des folgenden Gleichungssystems (1), (2) sind:
(1) x² + y² = a
(2) x + y = a
Aufgabe 2:
Für einen mathematischen Wettbewerb zwischen 2 Klassen stellt die eine Klasse folgende Aufgabe:
In unserer Klasse sind weniger als 30 Schüler, die aus genau 6 verschiedenen Orten A, B, C, D, E und F kommen. Für die Anzahl der aus eienem Ort kommenden Schüler gelten folgende Aussagen:
(1) Aus A kommt genau 1 Schüler.
(2) Aus B kommen mindestens die Hälfte, aber nicht mehr als 70 % der Schüler.
(3) Aus C kommen genau 25 % der Anzahl der Schüler aus B, das sind mehr als die Anzahl der Schüler aus E und weniger als die Anzahl der Schüler aus F.
(4) Aus D kommen zusammen mit der Anzahl der Schüler aus F genau 50 % der Anzahl der Schüler aus B.
(5) Würde die Anzahl der Schüler aus E zur Anzahl der Schüler der Klasse addiert, so wären das doppelt so viel wie die Anzahl der Schüler aus B.
(6) Aus F kommen so viel Schüler wie aus A, D, E zusammen.
Ermitteln Sie die Anzahl der Schüler aus den einzelnen Orten.
Aufgabe 3:
Im Raum seien 2 Kugeln mit dem Radius 1 gegeben, deren Mittelpunkte M1, M2 den Abstand 1 haben. Auf dem Schnittkreis der beiden Kugeln seien weiter 2 Punkte P, q gegeben, die den Abstand G haben. Durch M1, M2 und P bzw. M1, M2 und Q ist jeweils eine Ebene bestimmt. Wie groß ist der kleinere Winkel zwischen diesen Ebenen? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 18:47: |
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n = Gesamtanzahl,
a = Schüler aus A,
...
f = Schüler aus F
Dann gilt nach Voraussetzung:
(0) a + b + c + d + e + f = n
(1) a = 1
(3) 4c = b
(4) 2(d + f) = b
(5) e + n = 2b
(6) a + d + e = f
Hieraus erhältst du
a = 1,
b = 4c
d = (3c - 1)/4
e = (c - 1)/2
f = (5c + 1)/4
n = (15c + 1)/2
c muss ungerade sein, damit d, e, f und n ganzzahlig sind.
Weiter gilt nach Voraussetzung n < 30.
Also kommt nur c = 1 oder c = 3 in Frage.
Mit c = 1 würde aber e = 0 folgen. Also c = 3.
Dann
a = 1, b = 12, c = 3, d = 2, e = 1, f = 4, n = 23.
Überprüfe, dass (1) bis (6) erfüllt sind!!! |
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