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Beitrag |
    
Friederike Schöpf (Fritzi)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 17:53: | 
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Hilfe!! Weiß nicht, wer mir erklären könnte, wie man eine Differentialgleichung derArt y''=2xy'+2y lösen kann!
Friederike |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 07:58: |
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Hi Friederike,
Die von Dir vorgelegte Differentialgleichung (DGl)
ist eine homogene lineare DGl. zweiter Ordnung mit
NICHT konstanten Koeffizienten.
Die allgemeine Form einer solchen DGl lautet :
y '' + p(x) y' + q(x) y = 0
Im vorliegenden Beispiel gilt: p(x) = - 2 x , q(x) = - 2
Wir benützen folgende Lösungsstrategie:
1.
Ermittlung einer partikulären Lösung y1(x)
2.
Berechnung einer davon unabhängigen Lösung y2(x)
3.
Darstellung der allgemeinen Lösung als Linearkombination
von y1 und y2 :
y(x) = c1 * y1(x) + c2 * y2(x) ; c1,c2 = const.
Zu 1.
Im folgenden lassen wir den Index 1 bei y weg.
Ansatz Exponentialfunktion mit quadratischem Exponent,
genauer:
y = e ^ ( a* x ^2 ) ; a ist eine zu bestimmende Konstante.
Es folgt: y ' = 2 a x * e ^ ( a* x^2 ) ,
y '' = 2 a * e ^ ( a * x ^ 2 ) + 4* a ^ 2 * e ^( a * x ^ 2 )
Dies alles setzen wir in die DGl ein
Dabei heben sich die e- Potenzen weg und es bleibt die
Identität übrig
(4 * a ^ 2 - 4 * a) * x ^ 2 + 2a - 2 = 0.
Diese ist genau für a = 1 (für jedes x ) erfüllt.
Somit erhalten wir die partikuläre Lösung:
y = y1(x) = e ^ ( x ^ 2 ).
Zu 2.
Wir benützen einen Satz aus der Theorie der DGl :
Ist y1(x) eine Lösung der eingangs notierten homogenen DGl ,
so kann eine davon linear unabhängige Lösung y2(x) mit
der folgender Formel gewonnen werden:
y2(x) = y1(x) * [int {1 / [y1(x) ^ 2] * exp[-int(p(x) * dx ]}* dx]
In unserem Fall ergibt sich:
y2(x) = e ^ ( x ^2 )* ERF(x),mit
ERF(x) = int [e ^ ( - x ^ 2 ) ] * dx ;
ERF(x): Fehlerfunktion oder Error Function,
für welche es bekanntlich keine geschlossene
Darstellung gibt.
Zu3
Eingangs erledigt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
fritzi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 13:57: |
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Habe schon einen Ansatz:
y'=z1
z1=z0'
z1'=2x*z1+2z0
Danke! |
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