| Autor |
Beitrag |
    
Hartmut Helms (Helmy)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 09:25: | 
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Wie wird folgnede Aufgaben gelöst?
Prüfen Sie; ob die Funktion y=f(x) im gegebenen Difinitionsbereich umkehrbar ist, und bestimmen Sie die Umkehrfunktion.
A) y=f(x)=2+(1-x)^0,5 -unendlich<x=<1
2=<y<unendlich
(positiver Wurzelzweig)
B) y=f(x)=x²-3x+2 0=<x=<4
-0,25=<y<unendlich |
Hartmut Helms (Helmy)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 10:07: |
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Wie wird folgnede Aufgaben gelöst?
Prüfen Sie; ob die Funktion y=f(x) im gegebenen
Difinitionsbereich umkehrbar ist, und bestimmen Sie die
Umkehrfunktion.
A) y=f(x)=2+(1-x)^0,5 -unendlich<x=<1
2=<y<unendlich
(positiver Wurzelzweig)
B) y=f(x)=x²-3x+2 0=<x=<4
-0,25=<y<unendlich |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 22:44: |
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Hallo Hartmut,
die Lösungen für Deine Aufgaben lassen sich einfach finden:
a)
y = 2 + W(1-x)
mit Df = -oo;1
und Wf = 2;oo
Vertauschen von x und y ergibt
x = 2 + W(1-y) | -2
x - 2 = W(1-y) | ()2
x2 - 4x + 4 = (1-y) | -1 | * (-1)
- x2 + 4x - 3 = y-1
Damit ist y-1 bestimmt und hat den Wertebereich -oo;1 und den Defnitionsbereich 2;oo
(Da bei der Umkehrung einer Funktion auch Wertebereich und Definitionsbereich vertauscht werden.)
b) Zunächst formen wir y in Scheitelpunktsform um, also es ergibt sich dann
y = (x-1,5)2 - 0,25
Vertauschen von x und y ergibt
x = (y-1,5)2 - 0,25 | + 0,25
x + 0,25 = (y-1,5)2 | W
W(x+0,25) = |y-1,5|
Fall a: y-1-1,5 >= 0
=> y-1 >= 1,5
Für den Wertebereich von y-1 gilt der alte Definitionsbereich von f (s.o.!), also
gilt dann
a) y-1 = W(x+0,25) + 1,5 für 1,5<=y<=4
Fall b: y-1-1,5 < 0
=> y-1 < 1,5
Auch dies lesen wir aus dem alten Definitionsbereich von f ab und finden dann
b) y-1 = -W(x+0,25) + 1,5 für 0<=y<1,5
Die linke Einschränkung (0) ergibt sich aus dem Definitionsbereich von f, dieser lautete 0<=x<=4!
Viele Grüße
 Oliver
b) |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 23:02: |
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Hallo Hartmut,
das Wichtigste habe ich noch vergessen:
Oben angegebene Lösungen sind rein formale Entwicklungen. Es ist aber nicht richtig beide ermittelten Umkehrfunktionen einzuzeichnen, denn nur solche Funktionen sind umkehrbar, welche auf ihrem gesamten Definitionsbreich streng monoton sind. Das ist bei b) nicht der Fall. Für x = 1,5 stellt sich keine strenge Monotonie ein und wir müssen daher folgendes anhand des Graphen von f festlegen:
f ist ab x = 1,5 streng monoton steigend
f ist bis x= 1,5 streng monoton fallend
Das heisst aber, das wir f in zwei Teile splitten müssen:
1.) f existiert nur für 0<=x<1,5
2.) f existiert nur für 1,5<x<=4
Unmittelbar hier knüpfen auch die von uns gefundenen Umkehrfunktionen wieder an!
Es ergeben sich für f zwei Funktionsäste, ebenso für y-1
Gruß
Oliver |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 23:18: |
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und je später der Abend...
ja und nochetwas muss ich anmerken:
Meine letzte nachricht gilt auch für Aufgabe a), dort wurde die Arbeit aufgrund der schon "gerichteten" Definitions- und Wertebereiche von den Autoren abgenommen, trotzdem gilt: Einfach mal zeichnen (vergiss die 1. Winkelhalbierende nicht!)
Gruß
Oliver |
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