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rationale funktion hebbaredefinitions...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Referate / Hausarbeiten » Klassen 11-13 » Analysis » rationale funktion hebbaredefinitionslücke und polstelle hilfe! « Zurück Vor »

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jasmin
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 08:25:   Beitrag drucken

Mit den beiden Aufgaben komme ich nicht vertig. Kann mir jemand helfen.
f(x)=x^3/x^2-4x+4 und f(x)=2x^3+x^2-5x-10/x^2-x-2

dies soll berrechnet werden:Bestimmen sie für die rationale Funktion die Definitionslücke ,Hebbaredefinitionslücke, Polstellen ,Nullstellen und Asymptoten

Wer versteht dieses Fachchinesisch und kann mir das erklären!!!}
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A.K.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 09:02:   Beitrag drucken

Hallo Jasmin

f(x)=x³/(x²-4x+4)=x³/(x-2)²

=> Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners; hier bei x=2

Da das Zählerpolynom z(x)=x³ für x=2 z(2)=2³=8 ist, ist die Definitionslücke eine Polstelle
lim(x->±2)f(x)=+oo
Die Lücke ist nicht hebbar, da die Grenzwerte nicht endlich sind.

Nullstellen:
f(x)=0 <=> x³=0 <=> x=0

Asymptoten: senkrechte Asymptote an der Polstelle; also x=2

weitere Asymptote erhälst du, wenn du die Funktionsgleichung mittels Polynomdivision umformst zu
f(x)=x+[(4x²-4x)/(x²-4x+4)]
=> Asymptote ist y=x

Die zweite Funktion kannst du nun sicher selber.

Mfg K.
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jasmin
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 09:41:   Beitrag drucken

Hi K.
Danke für deine Antwort,
aber irgemdwie habe ich das nicht verstanden.
Wie kann ich erkennen, dass es nicht hebbar ist und wann sind die Grenzwerte endlich.
Wie kommst du auf die letzte Gleichung der Polynomdivision

Bis dann jasmin
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A.K.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 09:59:   Beitrag drucken

Hallo Jasmin

eine Polstelle liegt immer dann vor, wenn für eine Nullstelle des Nenners
(hier x²-4x+4=(x-2)² Nullstelle bei x=2)
der Zähler (hier x³) nicht 0 wird.

Ah, ich seh gerade einen Tippfehler beim Grenzwert.
Es heißt richtig
lim(x->2±)f(x)=+oo
d.h. man bildet den rechts- und linksseitigen Grenzwert.
Sind rechts- und linksseitiger Grenzwert an der Stelle x=2 gleich und nicht +oo oder -oo, so ist einen Lücke hebbar.
An sogenannten Polstellen sind die Grenzwerte immer +oo oder -oo, wobei sie auch verschieden sein können.

Da f(x) eine gebrochen-rationale Funktion ist, bei der Exponent des Zählerpolynoms (hier 3) größer als der des Nennerpolynoms (hier 2) ist, kann man sie durch Polynomdivision umformen;
also
x³ : (x²-4x+4)=x
-(x³-4x²+4x)
------------
...4x²-4x (Rest)
und damit
f(x)=x+[(4x²-4x)/(x²-4x+4)]

Mfg K.
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jasmin
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 10:15:   Beitrag drucken

Hi K.
Ich drucke mir das ganze mal aus und werde mir das genauer betrachten.
ich hab jetzt Unterricht und werde mich später melde um ca.13.30 Uhr wieder.

danke!


Bis später dann

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