| Autor |
Beitrag |
    
Christian
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 13:11: | 
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Hallo,
in einem Dreieck ABC ist ein Dreieck eingezeichnet, welches die drei Höhenfußpunkte miteinander verbindet.Ich suche nun den Beweis, warum dieses eingeschriebene Dreieck den kleinsten Umfang aller möglichen Dreiecke hat,wobei jeder Eckpunkt der eingezeichneten Dreiecke auf einer anderen Seite des Dreiecks ABC liegen muß.
Schon vorab vielen Dank |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. August, 2000 - 08:04: |
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Hallo Christian,
Das von Dir zur Diskussion gestellte Problem stammt
ursprünglich vom italienischen Mathematiker
Fagnano (1682 -1766), der es mit Hilfe der
Differentialrechnung auch löste.
Fagnano schätzte es übrigens, wenn man ihn mit allen
seinen Vornamen und Titeln ansprach:
Carlo Bernardino Benedetto,
Marquis von Toschi und Sant' Onofrio, Fagnano di Fagnani
Ein rein geometrischer Beweis stammt vom ungarischen
Mathematiker Lipot Fejér aus seiner Studentenzeit.
Dieser Beweis ist verblüffend einfach und besticht durch seine
Eleganz.
Im folgenden gebe ich an einem numerischen Beispiel den
rechnerischen Beweis im Sinne von Fagnano und eine Skizze
des Fejérschen Beweises für beliebige spitzwinklige Dreiecke
Der Satz selbst lautet:
Das einem spitzwinkligen Dreieck ABC einbeschriebene Dreieck
kleinsten Umfangs ist das Höhenfusspunktdreieck.
N.B. Das Problem von Fagnano hat keine Lösung,
wenn ABC ein stumpfwinkliges Dreieck ist !
Für das Verständnis der folgenden Ausführungen ist eine gute
Skizze als Leitfigur entscheidend.
Die Beweisführung selbst wird in mehrere kleine Schritte zerlegt.
Von Schritt 6 an trennen sich die Wege in einen rein geometrischen
und einen rechnerischen Teil .
1.Schritt
Dem Dreieck ABC wird ein beliebiges Dreieck PQR
einbeschrieben.
Dabei liegt P auf der Seite BC , Q auf CA und R auf AB.
2.Schritt
P ' ist der an CA gespiegelte Punkt zu P
P '' der an AB gespiegelte Punkt zu P
3.Schritt
Man bildet die Summe der Seitenlängen des Dreiecks PQR ,
also den Umfang u dieses Dreiecks:
u = PQ + QR + RP .
Dafür lässt sich wegen der Spiegelung auch setzen:
u = P'Q + QR + RP ''
4.Schritt
Kommentar: dies ist ein i.a . gebrochener Streckenzug,
der von P ' nach P'' führt.
Er soll so kurz wie möglich sein; dazu ist erforderlich,
dass er gerade ist, d.h. die Punkte Q und R müssen für
jede Wahl des Punktes P auf AB auf der zugehörigen
Geraden P ' P '' liegen
5.Schritt
Schussfolgerung
Für jede Wahl von P auf AB besitzt dasjenige
einbeschriebene Dreieck PQR den kleinsten Umfang,
dessen Ecken Q und R auf der Verbindungsgeraden v
der Spiegelpunkte P ' , P '' liegen.
Hier trennen sich die Wege in einen rechnerische Teil (A)
und einen geometrischen Teil (B)
Fortsetzung folgt demnächst
Bis dann !
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. August, 2000 - 09:33: |
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Hi Christian.
In einer Fortsetzung folgt die Methode (A) der Berechnung
mit Hilfe der Differentialrechnung nach Fagnano
Beweismethode (A)
Wir wählen ein rechtwinkliges Koordinatensystem so,
dass die Ecken des Dreiecks folgende Koordinaten haben:
A (- a / 0 ) , wobei a > 0 gilt ;
B ( b / 0 ) , C ( 0 / c ).
Der Punkt P auf der Seite AB hat die variable x-Koordinate t:
P( t / 0 ) mit - a < = t < = b
Eine etwas anspruchsvolle Berechnung liefert die Koordinaten
x ', y ' des Spiegelpunktes P ' und danach auch die Koordinaten
x '' , y '' des zweiten Spiegelpunktes P '' :
x ' = (2* b * c ^ 2 + b ^ 2 * t - c ^ 2 * t ) / ( b^2 + c^2 ).................( a )
y ' = ( b - t ) * 2* b * c / ( b ^ 2 + c ^ 2 )........................................ ( b )
x '' = ( - 2 * a * c ^ 2 + a ^ 2 * t - c ^ 2 * t ) / ( a ^ 2 + c ^ 2 )........( c )
y '' = (a + t ) * 2 * a * c / ( a ^ 2 + c ^ 2 ).........................................( d )
Zur Vereinfachung der nachfolgenden Rechnung wählen wir
ein numerisches Beispiel:
a = 1 , b = 2 , c = 2
Wir erhalten:
x ' = 2 , y ' = 2 - t ,
x '' = - (8 + 3*t ) / 5 , y '' = 4 / 5 * (1 + t ).
Mit f(t) bezeichnen wir das Quadrat des Abstandes der Punkte
P ' , P '' , welcher minimal werden soll
Es gilt:
f(t) = (x ' - x '' ) ^ 2 + ( y ' - y '' ) ^ 2 =
= 9 / 25 * { ( 6 + t ) ^ 2 + ( 2 - 3 t ) ^ 2 }
= 9 / 25 * ( 10 * t ^ 2 + 49 )
f(t) wird minimal für t = 0 , der entsprechende Punkt P(t) fällt mit
dem Nullpunkt zusammen und ist identisch mit dem Fusspunkt
der Höhe hc durch die Ecke C des Dreiecks ABC.
Man beachte , dass in der Funktion f(t ) das lineare Glied in t fehlt;
Das ist auch im allgemeinen Fall so, wie eine ausführliche und
beschwerliche Rechnung zeigt:
Stets stellt sich das Minimum von f(t) für t = 0 ein.
Auf diese Weise erhalten wir für den Extremalfall:
Alle Punkte P,Q, R fallen mit den jeweiligen
Höhenfusspunkten zusammen q.e.d.
Fortsetzung folgt !
Gruss
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. August, 2000 - 13:00: |
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Hi Christian,
Es folgt der dritte und letzte Teil (B) meiner Ausführungen
zum Problem von Fagnano, eine Skizze des Beweises von
Fejér.
1.Schritt
Dem Dreieck ABC wird ein beliebiges Dreieck PQR
einbeschrieben.
Dabei liegt P auf der Seite BC , Q auf CA und R auf AB.
2.Schritt
P ' ist der an CA gespiegelte Punkt zu P
P '' der an AB gespiegelte Punkt zu P
3.Schritt
Man bildet die Summe der Seitenlängen des Dreiecks PQR ,
also den Umfang u dieses Dreiecks:
u = PQ + QR + RP .
Dafür lässt sich wegen der Spiegelung auch setzen:
u = P'Q + QR + RP ''
4.Schritt
Kommentar: dies ist ein i.a . gebrochener Streckenzug,
der von P ' nach P'' führt.
Er soll so kurz wie möglich sein; dazu ist erforderlich,
dass er gerade ist, d.h. die Punkte Q und R müssen für
jede Wahl des Punktes P auf AB auf der zugehörigen
Geraden P ' P '' liegen
5.Schritt
Schlussfolgerung
Für jede Wahl von P auf AB besitzt dasjenige
einbeschriebene Dreieck PQR den kleinsten Umfang,
dessen Ecken Q und R auf der Verbindungsgeraden v
der Spiegelpunkte P ' , P '' liegen.
6.Schritt
AP ' und AP '' sind die Bilder der Strecken AP bei der
im zweiten Schritt erwähnten Spiegelungen. Somit gilt die
Gleichheit der Streckenlängen:
A P ' = A P '' ( = A P ) , d.h.
das Dreieck A P ' P '' ist gleichschenklig
und der Winkel an der Spitze A ist doppelt so gross
wie der Innenwinkel alpha des Dreiecks ABC bei A,
also:
Winkel P ' A P '' = 2 * alpha.
7.Schritt
Wir stellen fest, dass dieser Winkel an der Spitze des
gleichschenkligen Dreiecks konstant ist und
nicht von der Wahl des Punktes P auf der Seite BC
abhängt !
8.Schritt
Wir erhalten eine möglichst kurze Basis P' P''
(wie im Schritt vier verlangt) des gleichschenkligen
Dreiecks A P ' P '' , wenn wir einen Schenkel minimalisieren ,
d..h. wenn wir erreichen, dass AP möglichst klein wird.
(es gilt ja A P ' = A P '' = A P ) nach Schritt 6.
9.Schritt
Dies ist genau dann erreicht ,wenn AP der kürzeste Abstand
des Punktes A von der Seite BC ist.
Schluss: A P muss senkrecht auf BC stehen ,mit anderen
Worten:
P ist der Fusspunkt der Höhe ha durch A auf der Seite BC.
10.Schritt
Dieselben Ueberlegungen gelten für die beiden anderen Seiten
CA und AB: im Extremalfall sind BQ und CR die Höhen
von B und C aus
Damit ist dieser sehr schöne Beweis zu Ende geführt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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