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Ferdi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 16:47: | 
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Hallo,
Ich habe hier drei Aufgaben zu Taylor-entwicklung.
Bitte mit Erläuterungen warum etwas gemacht wird,
da ich das vortragen muß.
Gegeben ist die funktion f(x) 1-x/1+x.
a) Es ist die funktion mit hilfe einer Taylorreihe um xo=0 zu entwickeln ohne angabe des expliziten
Restgliedes (was heißt hier explizites Restglied)
b) Bis zu welchem x ist die Reihe bei der Entwicklung um xo=0 konvergent.
c) Zu berechnen ist der unterschied zwischen f(x) und dem Funktionswert der mit der Taylorreihe entwickelten Funktion(Abbruch nach dem sechsten Glied) an der Stelle x=0,5. |
Lisa
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 22:11: |
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Hi Ferdi!
a) Ich weiß leider auch nicht, was ein explizites Restglied ist, aber ich habe ein Taylorreihe von f(x)=(1-x)/(1+x)
Diese Funktion habe ich nun erst noch vereinfacht, indem ich Polynomdivision durchgeführt habe:
(-x+1)/(x+1)=-1 +2/(x+1)
f(x)= 2/(x+1) -1
Nun starte ich mit der geometrischen Reihe
S¥ n=0 an
Diese Reihe konvergiert gegen 1/(1-a), wenn |a|<1 ist. Ich hoffe, das ist bekannt.
Also ist für |a|<1:
1/(1-a)=S¥ n=0 an
Nun setzen wir a= -x:
1/(1+x)=S¥ n=0 (-x)n
1/(1+x)=S¥ n=0 (-1)nxn
Mal 2:
2/(1+x)=2S¥ n=0 (-1)nxn
Minus 1:
2/(1+x)-1 = (2S¥ n=0 (-1)nxn)-1
Also ist f(x)= (S¥ n=0 2(-1)nxn)-1
die gesuchte Taylor-Reihe.
b) Sie konvergiert, wenn |x|<1 ist und divergiert, wenn |x|>=1 ist.
c) Das Taylor-polynom 6.Grades erhalten wir nun indem wir alle Werte von n=0 bis n=6 addieren mit x=0,5.
Das ergibt also: 2(1-0,5+(0,5)²-(0,5)³+(0,5)4-(0,5)5+(0,5)6) -1
Weiter weiß ich auch nicht. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 22:51: |
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Hi Ferdi ,
Damit wir die Taylor - Entwicklung benützen können,
ermitteln wir mit der Quotiemtenregel die ersten sechs Ableitungen
sowohl allgemein als Funktionen von x als auch speziell für x = 0:
Bezeichnung : fk(x) bedeutet die k-te Ableitung von f(x)
( k = 1 , 2 ,.. 6 )
Wir erhalten der Reihe nach:
f ' (x) = f1(x) = - 2 / ( 1 + x ) ^ 2 , f ' (0) = - 2 = - 2 * 1!
f ''(x) = f2(x) = 4 / ( 1 + x ) ^ 3 , f ''(0) = 4 = 2 * 2!
f '''(x) = f3(x) = - 12 / (1 + x ) ^ 4 , f '''(0) = -12 = - 2 * 3!
f4(x) = 48 / (1 + x ) ^ 5 , f4 (0) = 48 = 2 * 4!
f5(x) = - 240 / (1 + x) ^ 6 , f5(0) = -240 = - 2 * 5!
f6(x) = 1440 /(1 + x ) ^ 7 , f6(0) = 1440 = 2 * 6!
Die Werte ganz rechts setzen wir in die Formel für die Taylorreihe ein
Wir erhalten zunächst die unendliche Reihe und sodann eine Näherung
S6 mit 7 Summanden:
f(x) = sum [ fk(0) * x ^ k / k ! ] , k = 0 bis unendlich.
Beim Einsetzen heben sich die Fakultäten weg und es ergibt sich eine sehr einfache Summe mit Zeichenwechsel:
f(x) = 1 - 2 x + 2 x ^ 2 - 2 x ^ 3 + 2 x ^ 4 - 2 x ^ 5 + 2 x ^ 6 - ...
Die Reihe lässt sich auch so schreiben:
f(x) = 1 - 2 * x * { 1 + x - x ^ 2 + x ^ 3 - x ^ 4 + x ^ 5 --- }
In der eckigen Klammer steht die bekannte unendliche geometrische Reihe
mit dem Anfangsglied 1 und dem Quotient - x.
Sie konvergiert für x absolut kleiner eins ,
d.h. für x-Werte mit -1 < x <1
Damit sind die Teilfragen a) und b) beantwortet.
Fortsetzung folgt
Bis dann
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 23:32: |
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Hi Ferdi,
Hier die Fortsetzung der Lösung Deiner Tayloraufgabe
Wir lösen c) und berechnen die endliche Näheungssumme S7(x),
die bis und mit der sechsten Potenz in x geht;
die Summe hat 7 Summanden.
Wir erhalten:
S7(x) = 1 - 2 * x*{1- x + x ^ 2 - x ^ 3 + x ^ 4 - x ^ 5 }
Den Inhalt der geschweiften Klammer berechnen wir mit der Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Reihe mit den Daten:
Anfangsglied 1 , Quotient q = - x , Gliederzahl 6;
Diese Summe ist: (1 - q ^ 6) / ( 1 - q ) . also :
( 1 - x ^ 6 ) / ( 1 + x ) Durch Einsetzen und Zusammenfassen kommt:
S7(x) = ( 1 - x - 2 * x ^ 7 ) / ( 1 + x )
Setzt man noch , wie verlangt , x = 0.5 ein, so erhalten wir
einerseits f (0.5) = 1 / 3 = 0.333...
andererseits:
S7(0.5) = (1 - 0.5 + 2* 0.5 ^ 7) / 1.5 = 0.34375
Not so bad !
Die Restgliedstory folgt später.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Juli, 2000 - 15:48: |
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Hi Ferdi,
Es folgen noch einige Ergänzungen zu meinen
gestrigen Mitteilungen
Zuerst zwei Korrekturen ( Vorzeichen beachten ! )
1. Die Reihenentwicklung für f(x) lautet:
f(x) =1 - 2 * x + 2 * x ^ 2 - 2 * x ^ 3 + 2* x ^ 4 - 2 * x ^ 5 + 2 * x ^ 6 - ..
= 1- 2 * x * {1 - x + x ^ 2 - x ^ 3 + x ^ 4 - x ^ 5 + ... }
2. S7(x) = (1 - x + 2 * x ^ 7 ) / ( 1+ x )
A) Zum Restglied.
Das Attribut "explizit " ist hier überflüssig, weil nichtssagend.
Ich gebe am besten den Wortlaut des Satzes von Taylor wieder:
Ist n eine natürliche Zahl (n = 1 , 2 . 3 ..) und f in einem Intervall I
(n+1)- mal differenzierbar und gehört x = 0 zu I ,
so gilt für jedes x aus I:
f(x) = f(0) + f '(0) * x + f ''(0) / 2! * x ^ 2 + f '''(0) / 3! * x ^ 3 +
+....+ fn(0) / n! * x ^ n + Rn(x).
fn bedeutet die n -te Ableitung von f(x) nach x.
Rn ist das zur Diskussion stehende n-te Restglied von f(x)
Die Form, die wir nun anschreiben, stammt von Lagrange
( Joseph L.Lagrange 1736 - 1813 )
und lautet [ f* ist die (n+1)-te Ableitung von f(x) nach x ] :
Rn(x) = f*(t) / (n +1) ! * x ^ ( n + 1) , wobei t eine zwischen 0 und 1
liegende Zahl ist, die man i.a. nicht kennt und auch nicht
zu kennen braucht
Im vorliegenden Fall könnte man sie für ein gegebenes n
berechnen, aber das ist, so nett können Lehrer sein, nicht verlangt
B) Die unter c) gesuchte Differenz D(x) = f(x) - S7(x) lautet:
D(x) = (1-x) / (1+x) - (1- x +2*x ^ 7) / (1+x) = 2*x^7 / (1+x)
Setzt man x = 0.5 , so kommt:
D(0.5) = 0.0104166..
C) Man kann die Aufgabe a ) auch ohne Taylor und damit ohne
die sukzessiven Ableitungen von f(x) lösen.
Dazu braucht es aber profunde Kenntnisse über
die unendlichen geometrischen Reihen
Man setzt an
f(x) = ( 1 + x - 2 * x ) / ( 1 + x ) = 1 - 2 * x / (1 + x )
Den Bruch schreibt man als eine unendliche geometrische Reihe
mit dem Anfangsglied 2x und dem Quotient - x
(Achte auf das Vorzeichen!)
Das sollte genügen ! Sind noch Fragen ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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