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Simon (Simon1176)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 09:20: | 
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hallo
kann mir bitte jemand beim lösen der folgenden differentialgleichung helfen????
Y´=sin(2*x)/2-y*cos(x) (xa/ya)=(0;2) xe=4,0
Vielen dank |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 20:30: |
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Hi Simon,
Es liegt eine lineare inhomogene DGl. erster Ordnung vor.
Zuerst lösen wir die homogene Gleichung durch Trennung der Variablen
Aus y ' = - y* cos x folgt:
dy / y = - cos x * dx ; Integration ergibt:
ln y = - sin x + c (c : Integrationskonstante ) ; nach y aufgelöst:
y = C* e ^ ( - sin x ) (C modifizierte Integrationskonstante)
Ich führe Dir zwei verschiedene Methoden vor, wie man daraus die
allgemeine Lösung der inhomogenen DGl. finden kann.
1.Methode:
wir verlassen uns auf unsere Intuition und ermitteln eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung sozusagen durch Erraten.
Wir vermuten, dass eine solche Lösung so beschaffen sein könnte:
y = sin x + a ( in y- Richtung verschobene Sinuskurve),
a ist eine zu bestimmende Konstante
Wir setzen diesen Ansatz samt der daraus folgenden Ableitung
y ' = cos x in die inhomogene Gleichung ein und ermitteln aus
der entstehenden Beziehung a.
Es kommt:
cos x = sin x * cos x - (sinx + a ) *cos x ; wir finden : a = - 1
somit ist y = sin x - 1 eine spezielle Lösung der gegebenen DGl.
Aus der Theorie ist bekannt, dass man die allgemeine Lösung dadurch erhält,
dass man eine solche spezielle Lösung zur allgemeinen Lösung
der homogenen Gleichung (siehe oben) addiert.
Somit bekommen wir durch eine solche Superposition als allgemeine
Lösung unserer DGl.:
y = C * e ^ (- sin x) + sin x - 1.
Zweite Methode: Variation der Konstanten C
Die in der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung auftretende Konstante C wird zur Variablen C = C(x) befördert.
Es sei y = C ( x ) * e ^ ( - sin x ) (Ansatz A) Lösung der inhomogenen Gleichung .
Wir berechnen y ' ( x ) und setzen dies und y(x) selbst in die gegebene inhomogene Gleichung ein
Es entsteht der Reihe nach:
y ' = C ' * e ^ ( - sin x ) - C * e ^ ( - sin x ) * cos x
nach der Produktregel ; eingesetzt:
C ' * e ^ ( - sin x ) - C * e ^ ( - sin x ) * cos x
= sin x * cos x - C * e ^ ( - sin x ) * cos x
Genau zwei Terme heben sich weg: Es bleibt eine (Diff.-) Gleichung für
C übrig ,nämlich.
C ' = sin x * cos x * e ^ ( - sin x) ;
Um C = C(x) zu erhalten, intergrieren wir die rechte Seite partiell
und erhalten ohne Schwierigkeit (Kontrolle durch Ableiten!) :
C = e ^ (sin x) * sin x - e ^ (sin x) + k
k ist eine Integrationskonstante.
Wir setzen C in den Ansatz A ( siehe oben ) ein und erhalten das
Schlussresultat in allgemeiner Form.
y = C(x) * e ^ ( - sin x) = sin x - 1 + k * e ^ ( - sin x )
Soll für x = 0 noch y = 2 gelten, so erhalten wir für die Integrationskonstante den Wert k = 3.
Soweit sollte alles klar geworden sein !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Simon (Simon1176)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Juni, 2000 - 15:13: |
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Hallo H. R. Moser
Du bist genial!
das ist wirklich supernett und hilft mir sehr viel weiter!
tausend Dank
Simon |
SIM
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juli, 2000 - 10:55: |
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Wenn mir jemand beim Lösen folgender DLG helfen könnte wäre ich sehr dankbar.
f'=4*cos(x)*(1-x)-f
Punkt (1;6), x (Endpunkt)=5 |
Bol
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juli, 2000 - 19:14: |
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Die DGL verstehe ich ja, aber was bedeutet
Punkt (1;6), x (Endpunkt)=5 ?
Bol |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juli, 2000 - 20:09: |
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Hi SIM und Bol,
Punkt (1;6) heißt: die Lösung f(x) muss durch den Punkt (1;6) gehen.
Was x (Endpunkt)=5 bedeuten soll, weiß ich ebenfalls nicht.
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Die Lösung dieser Gleichung ist ein größeres Unterfangen.
Mein Computer ergibt:
f(x)=2cos(x)+4sin(x)-2xcos(x)-2xsin(x)-2e-x[sin(1)-3]/[cosh(1)-sinh(1)]
Mit einem Funktionsplotter bestätigt man leicht, dass die Kurve tatsächlich durch den Punkt (1;6) geht. |
franz
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juli, 2000 - 19:26: |
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Die (inhomogene) Gleichung löst man durch Überlagerung der allgemeinen Lösung des homogenen Teils mit einer partikulären Lösung; letztere durch integrierenden Faktor respektive Variation der Variablen. Im allgemeinen y'+p(x)y=q(x): y=exp(-INTpdx) * [INT(q*expINTpdx)dx + C) oder hier mit q=4(1-x)cos(x), y'+y=q(x): y=exp(-x) * [INTq*exp(x)dx + C] und dem schon vorgestellten Ergebnis. Die Konstante C ergibt sich durch die Anfangsbedingung y(1)=6. Gruß, Franz |
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