| Autor |
Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 07:52: | 
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Hy
Zu zeigen ist:
für a-Vektor und b-Vektor als Element R3
1) (a-b)x (a+b) = 2a x b .
2) (a x(b x c)) = (a x c) b - (a x b)c
Nachvollziehbar bitte, |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 10:13: |
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Hi,
1.
Deine erste Formel lässt sich mit Hilfe des Distributivgesetzes, welches
auch für das Vektorprodukt gültig ist, sehr schnell beweisen:
(beim Klammerlösen musst Du sehr genau auf die Reihenfolge der Faktoren achten)
(a - b) x (a + b) = a x a + a x b - b x a - b x b = 2 * a x b ,
weil b x a = - a x b und a x a = b x b = 0 (Nullvektor) gilt.
2.
Die Rechnung wird hier etwas komplizierter
Die Vektoren a , b , c seien in einem orthonormierten Koordinatensystem
durch ihre Koordinaten (Komponenten) wie folgt gegeben:
A = [a1;a2;a3]', b = [b1;b2;b3]' ,c= [c1;c2;c3]' ;
das Dreivektorprodukt p = a x ( b x c ) habe die Koordinaten [p1;p2;p3]'
Dann gilt für p1 nach zweimaliger Verwendung der Berechnungsvorschrift
für Vektorprodukte:
p1 = a2 * (b1 c2 - b2 c1) - a3 * (b3 c1 - b1 c3) =
= b1 * (a2 c2 + a3 c3) - c1 * (a2 b2 + a3 b3) =
= b1* (a1 c1 + a2 c2 + a3 c3) - c1* (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ) =
= b1 * (a . c) - c1 ( a .b)
( in den letzten beiden Klammern stehen die Skalarprodukte der
Vektoren a, c bzw. a, b
Analog findet man die Koordinaten p2 und p3
(zyklische Vertauschung der Koordinaten pi, bi, ci)
p2 = b2 * (a. c) - c2 * (a. b)
p3 = b3 * (a. c) - c3 * (a. b)
somit p = (a. c) * b - (a. b) * c wzbw.
Anmerkung
1. Man überzeugt sich leicht , dass der Vektor p parallel zu der durch die Vektoren b und c aufgespannt en Ebene ist und als Linearkombination der Vektoren b und c dargestellt werden kann.
2. Die Formel für das Dreivektorprodukt (der sogenannte Entwicklungssatz) lässt sich auch ohne Koordinaten herleiten
(so geschehen in einem früheren Beitrag in diesem Board, Archiv Nr 2836
"An die Freunde des Vektorproduktes") |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 10:42: |
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Hallo, beim 'Vektorraum' R³ komme ich etwas ins Grübeln. Bisher habe ich diese Vektoren als durch Verschiebungen P1->P2 definiert angesehen; nicht durch die Punkte selber. (In der Physik: Ortsvektoren r:=O->P). Franz |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 11:22: |
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Wie komme ich in das Archiv 2836 |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 12:02: |
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Stichwort-Suche "Freunde des Vektorproduktes"; F. |
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