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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Mai, 2000 - 08:04: | 
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Hallo,
Gegeben sind 3 Vektoren in R3:
und zwar
a1= (1/1/1)
a2= (-1/2/0)
a3= (1/0/2)
Kann mir jemand sagen, mit Begründung ob die
3 Vektoren linear unabhängig sind?
und
was bedeutet es anschaulich, wenn Vektoren im zwei- oder dreidimensionalen Raum linear unabhängig sind?
Danke. |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Mai, 2000 - 12:18: |
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Laut Definition, wenn xa1+ya2+za3=0 nur die triviale Lösung x,y,z=0 hat.
x+y+z=0
-x+2y=0
x+2z=0
müßte hinkommen, F. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Mai, 2000 - 06:45: |
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Zur Anschaulichkeit im R3:
Eine Anzahl Vektoren im Vektorraum R³ ist linear abhängig wenn:
1) die Anzahl der Vektoren größer als 3 ist.
2) der Nullvektor darunter vorkommt.
3) mindestens zwei der Vektoren kolinear sind (d.h. auf einer Geraden liegen).
4) drei Vektoren in einer Ebene liegen.
Andernfalls heißen die Vektoren: linear unabhängig.
Analoges gilt für R².
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Um festzustellen, ob die 3 Vektoren unabhängig sind, gibt es verschiedene Algorithmen:
a)
Man schreibt die Vektoren als Kolonnen einer Matrix
und reduziert diese nach dem Gauß-Verfahren:
Die 3 Vektoren sind nur dann unabhängig, wenn die reduzierte Matrix 3 Pivots aufweist.
b)
Die drei Vektoren sind dann und nur dann unabhängig, wenn die Determinate obiger Matrix nicht Null ist.
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Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 12:10: |
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Hi, noch'n Versuch. Mit Anons. Vektoren im R³ gilt: sie sind linear unabhängig, wenn aus dem Ansatz
A*(1,1,1) + B*(-1,2,0) + C*(1,0,2) GLEICH (0,0,0)
stets folgt, daß alle drei Zahlen A, B und C aus R ebenfalls Null sind.
Andernfalls sind sie linear abhängig, das heißt aus demselben Ansatz
A*(1,1,1) + B*(-1,2,0) + C*(1,0,2) GLEICH (0,0,0)
lassen sich zumindest eine der Zahlen A, B oder C als UNGLEICH NULL bestimmen. Beispiel: (1,0,0) und (5,0,0) sind linear abhängig, den formal gerechnet folgt aus A*(1,0,0) + B*(5,0,0) = (0,0,0)
A + 5*B = 0 und wenn jetzt z.B. B=1 gewählt wird, wird A=-5. Irgendsoeine Wahlmöglichkeit ist bei der lin. Abhängigkeit immer gegeben. ANSCHAULICH bedeutet sie, daß ich (5,0,0) mit Hilfe anderer Vektoren darstellen kann, hier eben (5,0,0) = 5*(1,0,0).
Weiteres Beispiel: (1,0,0) und (0,1,0) im R³ sind lin. UNabhängig. A*(1,0,0) + B*(0,1,0) = (0,0,0) liefert sofort A=B=0. Aber wird der Vektor (4,5,0) hinzugenommen, so sind alle drei lin. ABHÄNGIG: (4,5,0) = 4*(1,0,0) + 5*(0,1,0).
Anon.s Vektoren sind lin. UNabhängig, und das kann u.a. so gerechnet werden:
Ansatz A*(1,1,1) + B*(-1,2,0) + C*(1,0,2)=(0,0,0)
liefert die 3 Gleichungen
A-B+C=0 (I)
A+2B=0 (II)
A+2C=0 (III)
Rechne 2 * (I) - (III), das liefert
0=2A-2B+2C -A-2C = A - 2B.
Dies addiert zu (II) liefert sofort 2A=0, also A=0. (II) liefert damit 2B=0, also B=0, und (III) ebenso C=0. Resultat: immer ist A=B=C=0.
Noch etwas zur Anschaulichkeit: in der Ebene sind zwei Vektoren lin. UNabnhängig, wenn sie in verschiedene Richtungen zeigen. Parallele Vektoren sind lin. abhängig.
Wenn ich in der Ebene 2 lin. UNabhäng. Vektoren x,y habe und addiere sie, so werden x,y,x+y lin. ABhängig. Beispiel wäre ein Kräfteparallelogramm aus der Physik.
Ich hoffe, es kam rüber.
Ciao. |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 12:36: |
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Kommentar zum vorletzten Absatz von Anonym:
Gegenbeispiel:
Die Vektoren in der Ebene: (1,1) und (-1,-1) zeigen in verschiedene Richtungen, sie sind aber trotzdem linear abhängig! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 09:49: |
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Hi Fern,
das ist korrekt. Es müßte heißen: in der Ebene sind 2 Vektoren lin. UNabhängig, wenn sie nicht parallel sind. Wobei "parallel" nur "gleicher Abstand" bedeutet und die Richtung der Vektoren dabei egal ist.
Grüße |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 12:23: |
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Hallo Anonym,
Noch ein Gegenbeispiel:
Man betrachte die beiden Vektoren:
u=(1,2)
v=(0,0)
Sie sind nicht parallel aber trotzdem linear abhängig! |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 12:27: |
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Hi franz,
Wie kommst du von
xa1+ya2+za3=0
auf
x+y+z=0
-x+2z=0
x+2z=0 ? |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 14:14: |
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Das wüßte ich auch gern, F/F. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 07:10: |
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Vielen Dank , insbesondere an Anonym II |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 11:40: |
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Hi Anonym,
freut mich. Mir ist noch etwas eingefallen. Von Deiner Gleichung
A*(1,1,1) + B*(-1,2,0) + C*(1,0,2)=(0,0,0)
im R³=R x R x R ausgehend kann man (A,B,C) selbst als einen Vektor auffassen. Und diese Gleichung, die eigentlich ein System von 3 Gleichungen ist, hat IMMER mindestens eine Lösung, nämlich A=B=C=0, also (0,0,0). Dann heißt "lin. UNabhängigkeit", daß (0,0,0) zugleich die EINZIGE Lösung ist, "lin. ABhäng." dagegen, daß es neben (0,0,0) noch zumindest eine weitere Lösung geben muß.
Ciao, Anonym II |
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