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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. April, 2000 - 08:27: | 
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Hi,
suche den Real und Imaginärteil der komplexen Zahlen
1+ 3i / (2-i)
und
Die Quadrat-wurzel aus -i .
Bitte mit Erklärungwen |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. April, 2000 - 12:21: |
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Hallo,
1)
1+3i
z= -------
2-i
Wir erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners:
(1+3i) (2+1) 2+6i+i-3 -1+7i
-------- * ------- = --------- = -------
(2-1) (2+i) 4+1 5
also: Re(z) = - 1/5
Im(z) = 7/5
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2)
Gesucht ist W(-i)
Wir setzen z=-i Dies können wir schreiben:
z = e3pi*i/2
Wurzel(z) = e3pi*i/4 = cos(3pi/4)+i*sin(3pi/4)=
= -W(2)/2 + iW(2)/2
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Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. April, 2000 - 07:03: |
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Hallo Fern , was ist eine konjugiert Komplexe
Zahl und
warum erweitern wir?
Müssen nicht beim Erweitern Zähler und Nenner gleich sein?
Zu 2 ) wie kommst du für z auf die e- Funktion? |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. April, 2000 - 09:10: |
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Eine komplexe Zahl besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil.
In algebraischer Form: z=a+ib
Als konjugiert komplexe Zahl bezeichnet man jene Zahl, deren Imaginärteil dazu negativ ist:
also a-ib.
In unserem Fall Nenner = 2-i
konjugiert komplex dazu: 2+i
(übrigens oben ein Tippfehler von mir: 2-1..)
Wenn man nämlich (a+ib)*(a-ib) ausrechnet, unter Berücksichtigung, dass i*i=-1 ist, so erhält man eine reelle Zahl: a²+b².
(2-i)(2+i)=4+1=5 damit ist der Imaginärteil im Nenner verschwunden und wir können Im(z) und Re(z) trennen.
Im Zähler ergibt sich:
(1+3i)(2+i)=2+6i+i+3i²=2+6i+i-3
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Außer der algebraischen Schreibweise gibt es noch die "trigonometrische Form":
z=r[cos(phi)+sin(phi)]
und die "exponentielle Form":
z=r*e(i*phi)
wobei r den "Modul" und phi das "Argument" von z darstellt.
Du kennst sicher die grafische Darstellung einer komplexen Zahl: Modul ist die Strecke vom Ursprung bis zum Zahlenpunkt und Argument ist der Winkel, den der Strahl mit der positiven, reellen Achse einschließt.
-i entsprecht einem Punkt der die Länge 1 vom Ursprung entfernt ist und dessen Winkel 270°=3*pi/2 entspricht.
Also kann man in exponentieller Form schreiben:
z=-i=e3*i*pi/2 und daraus die Wurzel ziehen. |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. April, 2000 - 11:14: |
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z=r[cos(phi)+i*sin(phi)]; wie schon oben. Gruß F. |
Alex
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2000 - 20:21: |
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Hallo
ich muß morgen eine Mathe-Arbeit schreiben,die für mich entscheidend wichtig ist (13.Klasse TG)
Normalerweise bin ich ein 11-12 Punkte-schüler in Mathe, jedoch habe ich unheimliche Schwierigkeiten mit den Komplexen Zahlen, ich vermute einen grundsätzlichen Denkfehler, ich weiß nur nicht was genau Hier mein Problem:
WIE LAUTET IN DER GAU?SCHEN ZAHLENEBENE DIE GLEICHUNG FÜR DEN KREIS z(index:0)=C mit dem Radius r?
Könnte mir jemand noch zusätzlich Tipps geben zum verständnis,ich bin verzweifelt,ich war noch nie so schlecht in Mathe, wie in dem Halbjahr, über eine ausführliche Erklärung (mathematische Darstellungen sind für mich i.a. verständlich) würde ich mich sehr freuen.
Wenn ihr noch Tipps hättet, ich kann damit umgehen ,brauche jedoch unbedingt hinweise was ich mir noch erarbeiten muß.....
Vielen Dank im voraus
P.S. Wie schreibe ich dies in der Summenform?
Wurzel(2)*(cos(µ/4)+isin(µ/4))
µ=soll pi heißen |
Pi*Daumen
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2000 - 21:17: |
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Siehe hier:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/2877.html |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 08:38: |
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Hallo Fern,
du hast für 270° 3 pi/2 genommen.
Ist pi/2 90° . wie ist da die Systematik.
;
für den Realteil der zweiten Aufgabe erhält
man - wurzel aus 2 / 3 und
i Wurzel aus 2 / 2.
wie kommst du dahin. Ich kann es nicht audf Anhieb
sehen.
Danke. |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 09:52: |
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Hallo Anonym,
Da hast du aber lange nachgedacht!
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Winkel werden im Bogenmaß gemessen:
Vollkreis (= 360°) = 2p
Halbkreis (= 180°) = p
Dreiviertelkreis (= 270°) = (3/2)p
u.s.w.
Dies sollte klar sein bevor man an komplexe Zahlen herangeht.
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Die 2. Aufgabe war: z=W(-i)
Für den Realteil erhält man: -W(2)/2
NICHT: -W(2)/3 und iW(2)/2 wie du schreibst.
Für den Imaginärteil erhält man: W(2)/2
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Wie man zu diesem Resultat kommt, habe ich oben beschrieben,
Was genau verstehst du nicht?
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Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 08:31: |
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War ein tippfehler -W aus 2 /2.
Du verwendest die Exponentielle Form
mit 3 pi/4
Wie kommst du beim wurzelziehen auf die 4
im nenner
und das war meine eigentliche frage
der sprung zum Real und Imaginär Teil,
sprich -W(2) / 2 und W(2) /2 |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 10:03: |
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Hallo Anonym,
Wir wollen die Wurzel aus z=(-i) berechnen.
Beim Potenzieren (und Wurzelziehen) ist es bei komplexen Zahlen immer vorteilhaft mit der exponentiellen oder mit der trigonometrischen Form zu rechnen.
Die Zahl z=-i
Hat als Argument: f=270° = 3p/2
Hat als Modul |z|= r =1....dies ist der Abstand zum Ursprung.
Diese beiden Werte muss man kennen, um die exponentielle Form oder die trigonometrische Form aufstellen zu können.
Exp.Form:
z = r*eif
Trig.Form:
z = r*(cos(f)+i*sin(f))
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Unser Beispiel mit der exp. Form gelöst:
Für unsere Zahl z=-i ergibt sich:
z=ei3p/2
Nach der Potenzregel muss bei Wurzelziehen der Exponent mit ½ multipliziert werden:
also W(z)= ei3p/4
Daraus kann man ablesen: der Modul ist immer noch =1
Das Argument = 3p/4 = 135°
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Das Beispiel mit der trigo. Form gelöst:
z = cos(3p/2) + i*sin(3p/2)
zum Wurzelziehen (Potenzieren) muss man nun die Formel von Moivre kennen:
[cos(f)+i*sin(f)]n = cos(nf) +i*sin(nf))
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Beim Wurzelziehen ist n=½
W(z) = cos(3p/4) + i*sin(3p/4)
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wobei cos(3p/4) = -W(2)/2 der Realteil
und sin(3p/4} = W(2)/2 der Imaginärteil ist.
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Anmerkung: Diese Lösung ist nur die sogenannte Hauptlösung.
Andere Lösungen erhölt man indem man zum Argument 2*k*p hinzuzählt wobei k eine ganze Zahl ist.
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Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 13:38: |
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Nachtrag:
Ich habs doch zu einfach gemacht:
Will man alle Werte erhalten, so muss man schon am Anfang
z=ei*3p/2+2kp schreiben
und jetzt die Wurzel:
W(z)= ei*(3p/4+kp)
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Es ergeben sich zwei Hauptwerte:
(Das sind jene Werte für die 0<=f<=2p
z1=ei*3p/4
z2=ei*(3p/4+p)
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Es hoffe, dies hat nicht zuviel Verwirrung verursacht. |
sarah
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 21:36: |
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huuluu |
nana
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 21:38: |
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hallo
ich muss eine facharbeit über algebraische relaationen schreiben und habe voll kein plan....wisst ihr vielleicht irgendwelche seiten,wo ich etwas finden könnte?? |
Jum
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 10:09: |
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Hallo nana,
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