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Peter
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. März, 2000 - 13:32: | 
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Es gilt, eine Ellipsengleichung in einem Polarkoordinatensystem zu schreiben.
Der eine Brennpunkt liegt im Ursprung des Koordinatensystems, kann aber auch woanders liegen.
Die Länge der Hauptachse ist bekannt, ebenso die Exzentrizität.
Der Abstand vom Rand der Ellipse auf der Hauptachse zum Brennpunkt 1 ist auch bekannt.
Wie macht man das?
Kann mir jemand nützliche Tips geben?
schonmal danke. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. März, 2000 - 08:05: |
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Hi Peter,
Unser Ziel ist es ,die bekannte Polarkoordinatengleichung der Ellipse herzuleiten
Diese lautet bekanntlich:
r = p / (1 + epsilon * cos( phi) ) ,
wobei ein Brennpunkt der Pol ist und die Polarachse durch den Scheitel geht, der dem Pol am nächsten liegt (Perihel bei Planetenbahnen);
p ist der sogenannte Parameter der Ellipse und errechnet sich aus der grossen Halbachse a und der kleinen Halbachse b wie folgt: p = b ^ 2 / a.
epsilon ist die numerische Exzentrizität und eine Zahl, welche bei Ellipsen zwischen null und eins liegt (Grenzen ausgeschlossen) ; epsilon darf nicht mit der linearen Exzentrizität e mit e ^ 2 = a ^ 2 - b ^ 2 verwechselt werden .
Für die numerische Exzentrizität gilt :
epsilon = e / a . Soviel zur Nomenklatur.
Es folgen nun zwei verschiedene Herleitungen.
1.Methode : Der Rechenweg wird etwas mühsam werden und einige Turbulenzen bringen ; der Aufwand wird sich jedoch lohnen.
Wir leiten die Polargleichung aus der Gleichung der Ellipse mit rechtwinkligen Koordinaten x, y her , nämlich aus der Gleichung
b ^ 2 * x ^ 2 + a ^ 2 * y ^ 2 = a ^ 2 * b ^ 2. ( a : grosse Halbachse). Einer der beiden Brennpunkte F hat die Koordinaten x F = e (e: lineare Exzentrizität), y F = 0 . F soll nun neuer Nullpunkt des parallel verschobenen Koordinatensystems werden, in der Absicht , ihn später zum Pol des
Polarkoordinatensystems zu befördern. Das Verschiebungsgesetz ist denkbar einfach:
Altes x = neues x + e , also x = x' + a , die y- Koordinate bleibt unverändert.
y = y' . Im neuen System lautet die Gleichung der Ellipse:
b ^ 2 * (x' + e) ^ 2 + a ^ 2 * ( y' ) ^ 2 = a ^ 2 * b ^ 2
Löst man die Klammern auf, so kommt :
b^2 * ( x' ) ^2 + 2 * b^2 * e * x' + b^2 * e^2 + a^2 * ( y' ) ^ 2 = a ^2 * b ^2
Jetzt führen wir die vorher beschriebenen Polarkoordinaten ein durch die Gleichungen:
x' = r * cos (phi) , y' = r * sin ( phi ) , r : Radiusvektor , phi: Polarwinkel.
Wir erhalten nach dem Einsetzen und nach dem Ordnen eine quadratische Gleichung für r; sie lautet mit den Abkürzungen A, B, C in der üblichen Schreibweise:
A * r ^ 2 + B * r + C = 0 , wobei die Beziehungen gelten:
A = b^2 * (cos phi)^2 + a^2 * (sin phi )^2
B = 2 * b ^ 2 * e * cos phi
C = b ^ 2 * e ^ 2 -a ^ 2 * b ^ 2
Diese Koeffizienten werden vor Gebrauch umgeformt im Sinne einer Vereinfachung , wobei von der Beziehung b ^ 2 = a ^ 2 - e ^ 2
Gebrauch gemacht wird. Wir erhalten zunächst:
A = (a^2 - e^2) * (cos phi)^2 + a^2 * (sin phi)^2 = a^2 * ( ( cos phi )^2 + (sin phi)^2 ) - e^2 * ( cos phi)^2=
a^2 - e^2* (cos phi)^2
und
C = b ^ 2 * ( a ^ 2 - b ^ 2 ) - a ^ 2 * b ^ 2 = - b ^ 4
Wir bereiten noch die Diskriminante D der quadratischen Gleichung vor, sie lautet : D = B ^ 2 - 4 * A * C = 4* b ^ 4 * e ^ 2 * (cos phi)^2 + 4*(a ^ 2 - e^ 2*(cos phi)^2) * b ^ 4 =
4* b ^ 4*(e^2*(cos phi)^2 + a^2 - e^2 * (cos phi)^2) = 4*a^2*b^4 (bravo!)
Jetzt schreiben wir die Lösung der quadratischen Gleichung in r an; es genügt,
diejenige mit dem positiven Vorzeichen vor der Wurzel zu wählen.
Es entsteht: (die Zwei kürzt sich weg ! ) :
mit r = (- B + wurzel(D) ) / (2A) = ( - b^2 * e * (cos phi) + a*b^2) / (a^2 - e^2*(cos phi)^2).
Wir zerlegen den Nenner in Faktoren und kürzen den Bruch; es folgt:
r = b ^ 2 / (a + e* cos phi); wir stellen einen Doppelbruch her ,indem wir noch mit a kürzen :
r = ( b^2 / a) / (1 + e / a * cos phi) ; nota bene : es ist b^2 / a = p , e / a = epsilon ,wie in der Einleitung dargelegt wurde. Der Beweis ist damit zum Abschluss gebracht !:
Ich möchte mich für den langatmigen Rechengang entschuldigen, aber der Zweck heiligt auch hier die Mittel.
Ich werde demnächst noch eine einfachere zweite Methode zeigen.
Bis dahin
Grüsse von H.R. |
franz
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. März, 2000 - 11:14: |
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x=x'+e |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. März, 2000 - 11:31: |
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An Franz
Korrektur i.O., Danke
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. März, 2000 - 12:22: |
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Hi Peter,
Es folgt nun eine zweite Methode zur Herleitung der Polargleichung der Ellipse. Diese Methode geht von ganz anderen Praemissen aus als die erste und benötigt weniger Rechenaufwand., dafür sind einige geometrische Ueberlegungen
erforderlich.
Bei der Behandlung der ebenen Schnitte eines Rotationskegels, z. B. in der Darstellenden Geometrie, begegnet man der Ellipse als Ortskurve für die folgende Bedingung (1.Definition)
Das Verhältnis der Abstände eines laufenden Punktes P der Ellipse von einem festen Punkt F und einer festen Geraden d ist eine Konstante.
( F und d liegen in der Schnittebene , F ist der eine Brennpunkt und d die Leitgerade oder Direktrix, die Konstante heisst numerische Exzentrizität epsilon und stellt für Ellipsen eine Zahl zwischen null und eins dar).
Dass diese Definition mit der Definition der Ellipse als Ortskurve für eine konstante Abstandssumme von beiden Brennpunkten ist , wird mit Hilfe der Dandelinkugeln bewiesen.
Wir brauchen das nicht zu tun ,sondern leiten die Polargleichung aus der ersten Definition allein wie folgt her :
In der Schnittebene , d. h . in der Ebene der Ellipse, dient der Brennpunkt F als
Nullpunkt O des Polarkoordinatensystems. Im Abstand f von O verläuft die Gerade d , welche die Leitgerade sein soll. (Es kann nützlich sein, wenn Du das Gesagte sofort in einer Skizze festhälst.)
Wir legen durch O die senkrechte Gerade zur Geraden. d und nennen sie x,
der Schnittpunkt von x mit d sei D.
Wir richten die Gerade x von O nach D und haben so die Polarachse eingeführt
(OD ist somit die Anfangsrichtung, die zum Polarwinkel phi = 0 gehört)
Zur Kontrolle: nach obigem gilt : Strecke OD = f.
Nun wählen wir einen Punkt P so ,dass sein Abstand von O kleiner als sein
Abstand von d ist (entsprechend der Ellipsenbedingung epsilon kleiner 1). Es sei Q der Fusspunkt des Lotes von P auf d.
Der Fahrstrahl OP = r bildet mit der +x - Richtung den Winkel phi.
Es gilt die Beziehung QP = f - r * cos (phi)
Man findet aus der Ortsbedingung OP = epsilon * QP und aus der Beziehung für QP leicht r = f * epsilon / (1 + cos(phi)). Jetzt wollen wir noch das Produkt
f * epsilon als Parameter p identifizieren.
Kenner der Materie wissen sofort , dass p die Brennpunktsordinate ist, d.h. der y-Wert des Ellipsenpunktes senkrecht über dem Brennpunkt (in der x,y-Darstellung) stimmt mit p überein !
Wir wählen daher in der Polarkoordinatendarstellung von soeben phi = Pi/2 und erhalten sofort:
r = p = f * epsilon / (1+ cos (Pi/2) ) = f * epsilon.
Wir sind damit mit diesem Beweis am Ende ; er dürfte - abgesehen von Druckfehlern - richtig sein !
Mit den besten Grüssen
H.R. |
franz
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. März, 2000 - 13:50: |
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Für die interessanten Informationen meinen Dank. Kommt man ohne Kepler im Hinterkopf auch auf die Idee, einen Brennpunkt als Ursprung zu nehmen? Gibt es ein r(phi) auch für den Mittelpunkt? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. März, 2000 - 14:53: |
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Hi Peter,
Deine Aufgabe lässt mir keine Ruhe !
Es ist mir noch eine dritte Methode eingefallen, welche keinen Gebrauch von der Leitgeraden macht , dafür aber wird die Brennpunktsdefinition mit der konstanten Abstandssumme 2a des laufenden Punktes P(x/y) benützt.
Beginnen wir von vorne::
Es gelten die folgenden Bezeichnungen :
Brennpunkte F1 , F2 auf der x-Achse: F1 ( e / 0 ), F2 ( -e / 0 )
e: lineare Exzentrizität ,
a : grosse Halbachse , b: kleine Halbachse
Beziehung: b ^ 2 = a ^ 2 - e ^ 2 .
P(x/y).laufender Punkt der Ellipse mit P F1 + P F2 = 2 a.
r1 = P F1 , r2 = P F2
Wir leiten zwei Hilfsformeln her ; für die Abszisse x von P gilt:
r 1 = a - e * x / a (I)
r 2 = a + e* x / a (II)
Beweis:
r1 ^2 = ( x - e ) ^ 2 + y ^ 2 = x^2 + e^2 - 2 e x + y^2 (1)
r2 ^2 = (x + e) ^ 2 + y ^ 2 = x^2 + e^2 + 2 e x + y^2 (2)
Subtraktion (2) - (1) :
r2^2 - r1^2 = 4 e x (3) ferner:
r1 + r2 = 2a (Definitionsgleichung) (4)
aus der Produktdarstellung von (3)
(r2 - r1)*(r2 + r1) = 4 e x folgt mit (4) schliesslich :
r2 - r1 = 2 * e* x / a. (5) durch Subtraktion bezw Addition von (4 ) und (5) folgt endlich (I) und (II)
Nun gilt es wieder, eine Skizze anzufertigen
Wir wählen einen Punkt P(x/y) auf der Ellipse b^2*x^2 + a^2* y^2 = a^2* b^2 , welcher im ersten Quadrant liegt aus (wir wählen Quadrant 1 aus Gründen der Anschaulichkeit) . P ' ( x / 0) sei seine Normalprojektion auf der x-Achse;
dann gilt OP' = x.
Der Brennpunkt rechts F1 = F(e/0) wird Pol, die +x-Achse Polarachse.
Dann ist der Winkel phi = Winkel (+x ,FP) der Polarwinkel und r1 = r = FP der
Radiusvektor unseres Polarkoordinatensystems.
Wir lösen noch (I) nach x auf und erhalten :
x = a^2 / e - a * r / e. (Gleichung (I*)
Jetzt kann es losgehen:
x = O P ' = O F + F P' = e + r * cos (phi) ; mit Gleichung (I*) erhalten wir durch
Gleichsetzen der rechten Seiten und Multiplikation mit e
a ^ 2 - a * r = e^2 + r * e * cos (phi) und daraus unter Verwendung von
a^2 -e^2 = b^2 das gewünschte Resultat:
r = (b^2 / a ) / ( 1 + e/a * cos (phi))
Ich glaube , das dürfte genügen ! satis / finis !
Nochmals freundliche Grüsse von
H.R |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. März, 2000 - 15:03: |
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An Franz,
Mit der Bemerkung aus dem Hinterkopf bringst Du die Angelegenheit im wahrsten Sinn des Wortes auf den Punkt !
Danke für den Hinweis
Es dürfte einige Umstände bereiten, den Pol im Mittelpunkt zu wählen.
Grundsätzlich sollte es gehen
Vielleicht versuchen wir es einmal !
Grüsse H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. März, 2000 - 15:40: |
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Hallo Franz,
Es funktioniert schon , wenn man den Pol im Mittelpunkt der Ellipse wählt
Beispiel :x^2 + 4 y^2 = 4 hat dann die Polargleichung r = 2 / wurzel (1+ 3 * (sin phi)^2)
Kontrolle mit Maple V:
Nimmt man phi von 0 bis 2*Pi , so erhält man die ganze Ellipse , für phi von o bis Pi muss man vor die Wurzel zusätzlich noch ein Minuszeichen setzen.
Grüsse: H.R. |
Peter
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. März, 2000 - 16:39: |
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Hilft eventuell auch die Bemerkung, dass ich dabei nicht Kepler sondern Hohmann im Hinterkopf hatte? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. März, 2000 - 16:52: |
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Hallo Peter,
Wer ist Hohmann?
Beschreib ihn näher !
Gruss H.R |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. März, 2000 - 19:58: |
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Hallo allerseits,
Im Zusammenhang mit der soeben gelösten Aufgabe , die Polargleichung einer Ellipse mit einem Brennpunkt als Pol herzuleiten, lassen sich viele nette Aufgaben lösen
Eine davon ist die folgende:
Eine beliebige Sekante durch den Brennpunkt F einer Ellipse schneide diese in den Punkten P und P'. Es sei r = FP, r' = FP'. Man beweise ,dass das harmonische Mittel aus r und r' konstant ist . Welches ist diese Konstante ?
Anmerkung: es besteht kein Zwang ,diese Aufgabe zu lösen !
Gruss H.R. |
Hans
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 08:44: |
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Hallo.
Ich habe gerade die Aufgabe über das harmonische Mittel zweier Ellipsensekanten entdeckt und würde mich darüber freuen, wenn sie näher erläutert (eigentlich meine ich ja "gelöst") werden könnte.
MfG Hans |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 10:06: |
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Hi Hans ,
Es freut mich ausserordentlich, dass Du Dich für diese
Aufgabe interessierst; ich löse sie Dir gerne vor.
Wir wählen den in der Aufgabe genannten Brennpunkt als Pol,
die Fokalachse als x-Achse und damit als Polarachse.
p ist nach wie vor der Parameter der Ellipse, und es gilt
p = b^2 / a mit a als grosser und b als kleiner Halbachse,
phi ist der Polarwinkel.
Die Gleichung der Ellipse in Polarkoordinaten lautet nach der
genannten Herleitung :
r = p / [ 1 + epsilon * cos(phi) ]
epsilon = e / a ist die numerische Exzentrizität
e = wurzel ( a^2 - b^2 ) ist die lineare Exzentrizität.
Das ist alles Wiederholung !
Lösung der Aufgabe
Da die beiden Punkte P und P ' auf ein und derselben Geraden
durch den Pol liegen, gilt für die zugehörigen Phasenwinkel
phi und phi ' :
phi ' = (180° - phi)
Dazu gehören die r-Werte:
r = p / [1 + epsilon * cos(phi) ] und
r ' = p / [1 + epsilon * cos(180- phi) ] = p / [ 1- epsilon * cos (phi) ]
Wir bilden nun das harmonische Mittel H von r und r ' :
1 / H = ½ * ( 1 / r + 1 / r ' ) oder H = 2 * r * r ' / { r + r ' }
r-Werte eingesetzt und leicht umgeformt:
H = [2 * p^2 / N ] / [2 * p / N ] mit N = 1 - {epsilon * cos(phi)}^2
Also H = p ,
p ist konstant (unabhängig von phi), womit die Behauptung bewiesen ist
Anmerkung
Dass diese Konstante mit p übereinstimmt, kann auch so gezeigt werden :
Für die beiden Hauptscheitel A und B der Ellipse gilt
Für A ( phi = 0): r = a - e
Für B ( phi = 180°) : r ' = a + e , somit nach der Relation für H :
H = 2 * ( a^2 - e^2) / (2 a) = b ^ 2 / a = p , wie soeben .
Ende der Herleitung
.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
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