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Sammlung zur e-Funktion

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Friedrich Laher (Friedrichlaher)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 14:53:   Beitrag drucken

Gegeben sind die Funktionen f und g durch f(x)=e^(x-1) und g(x)=e^(1-x); der Graph von f sei F, der von g sei G.
exp1
a) Untersuchen Sie F und G auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen und auf Asymptoten. Berechnen sie die Koordinaten des Schnittpunktes und den Schnittwinkel von F und G

Die f,g sind entlang der x-Achse verschobene Bilder der Funktionen f* = ex und g* = e-x . ihre ( waagrechten ) Asymtoten sind also in beiden Fällen y = 0,
andere Asymptoten existieren nicht.

F,G Schneiden sich wo f(x)=g(x) also ex-1=e1-x . Da beide Seiten die selbe Basis haben kann man einfach die Exponenten vergleichen

x-1 = 1-x; 2x = 2; x = 2. F schneidet G in Xs=1, also (1 / 1)

SCHNITTWINKEL: als Schnittwinkel 2er Graphen definiert man den Winkel zwischen den Tangenten im Schnittpunkt.

Die 1te Ableitung einer Funktion ist der Tangens der Neigung (also des Winkels) der Tangente gegenüber der x-Achse

f'(x) = ex-1, f'(Xs) = e0 = 1, g'(x) = -e1-x, g'(Xs = -1;

aus Tangens = 1 folgt Winkel = 45° = pi/4, aus Tangens = -1 Winkel = -45°. Die Funktion die bei gegebenem Tangens den Winkel liefert nennt man ARCUSTANGENS
es sind
also Winkel(F) = 45°, Winkel(G) = -45°, und die Tangenten, also F.G, schliessen miteinander 90° ein.
-------------------------------------------------------------------------------------------
b) Die Graphen F und G schließen mit der y-Achse eine Fläche ein. Rotiert diese Fläche um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie sein Volumen.

(falls auf Deinem Bildschirm òu o nicht als Integralzeichen erscheint: es bedeutet: integral von u bis o)

Das Volumen V des Rotationskörpers kann man sich aus lauter dx dünnen Zylindrischen Scheibchen mit dem Radius r(x) zusammengesetz denken. Läss man dx gegen 0 gehen
wird
daraus V = pi*òu or²(x)dx;
im
gegebenen Fall muessen allerdings die Teile links und rechts von Xs getrennt behandelnn da "rF(x)" verschieden von "rG(x)" ist. Für Unendlich schreibe ich U
also
V = pi*{ò0 1e2x-2dx + ò1 Ue2-2xdx} = pi*{e-2ò0 1e2xdx + e²int{1,U}e-2xdx}

mit der Information ò ekxdx = ekx/k wirst Du den Rest ja alleine zustande bringen (der Grenzwert für x->U von e-2x ist natürlich 0)

------------------
c) P(u/v) mit u>0 liegt auf G; die Parallele zur x-Achse durch P schneidet die y-Achse in Q. Die Tangente in P an G schneidet die y-Achse in R. Für Welchen Wert von u wird der Flächeninhalt des Dreiecks QPR extremal? Bestimmen sie die Art des Extremums und seinen Wert

Es gilt P = ( u / e1-x ), Q = (0 / e1-x ) ( siehe Bild )
Die
Tangente t(x) in P an G hat die Gleichung t(x) = g(u) + (x-u)*g'(u); die y-Achse schneidet sie bei x = 0,
also
ist R = ( 0 / g(u) - u*g'(u) ) = ( 0 / e1-u(1+u) ).
Der
Flächeninhalt des re.wi.3ecks QPR ist
also A,
2A = u*[ e1-u(1+u) - e1-u ] = u²e1-u und extremal wenn d(2A)/du = (2A)' = 0

Differenzieren nach Produktregel, und für e1-u nach Kettenregel ( die gibt das "-" im 2ten Summanden )

(2A)' = (u²e1-u)' = 2u*e1-u - u²e1-u = u*e1-u(1-u).
Da
u > 0
gefordert ist ist das Extremum 1 - u = 0, also u = 1 gemeint.
Aus
dem Bild leicht erkennbar ist dass auch noch u -> Unendlich das Extremum A = 0 ergäbe.
------------------------
d) Die Temperatur T(t) eines Körpers verändert sich in Abhängigkeit von der Zeit t nach folgendem Gesetz: T8t)=50+150*e^-kt; k>0 (Zeit t in Minuten, Temperatur in Celsius)
Zeigen Sie, dass es sich um einen Abkühlungsvorgang handelt. Welche Temperatur kann der Körper für t>= 0 annehmen?
Berechnen sie k auf 3 Dezimalen genau, wenn sich der Körper in den ersten 35 Min auf 62,9 C° abgekühlt hat.
Ab welchen Zeitpunkt nimmt für dieses k die Temperatur des Körpers in einer Minute um weniger als 2 Grad ab?

Da immer ekx > 0 für reelle k,x gilt kann die Temperatur nicht unter 50°C sinken; ein Abkühlvorgang ist es, weil für k > 0 e-kt stetig fällt (die Ableitung ist immer < 0 )
Für
die Berechnung von k müsste ein Anfangswert der Temperatur vorgegeben sein. Ich nehme an es soll t(0) = 200°C genommen werden.
Somit
T(35) = 50+150*e-k*35 = 62,9; 150*e-k*35 = 12,9; e-k*35 = 12,9/150;

-k*35 = ln(12,9/150); k = -ln(12,9/150) / 35 . Das kannst Du doch selbst?

Die Änderungsrate ( hier Abkühlrate ) ist eben dT/dt also T'(t) = -150k*e-kt = -2; e-kt = 1/(75k)

-kt = -ln(75k); t = ln(75k)/k; k ist oben schon berechnet.
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Friedrich Laher (Friedrichlaher)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 22:10:   Beitrag drucken

ERRATA:
Ich danke mYthos für Hinweise auf meine folgenden Irrtümer (die Originalaufgabenstellung ist von

hier

zu b) Es ist nach genauerem Lesen der Angabe ersichtlich dass die in folgender Zeichnung grau schraffierte Fläche gemeint ist
exp1
dann
gilt natürllich V = pi*ò0 1[g²(x) - f²(x)]dx

V = pi*ò0 1[e2-2x - e2x-2]dx
V = pi*ò0 1[e²e-2x - e2x/e²]dx

V = 1/2pi*[-e²e-2x - e2x/e²]01

V = 1/2pi*{ [ -e²/e² - e²/e² ] - [ -e²*1 - 1/e² ] }

V = 1/2pi*{ -2 + e² + e-2 }
-------
zu c)
2A = u*[ e1-u(1+u) - e1-u ] = u²e{1-u} und extremal wenn d(2A)/du = (2A)' = 0

Differenzieren nach Produktregel, und für e1-u nach Kettenregel ( die gibt das "-" im 2ten Summanden )

(2A)' = (u²e1-u)' = 2u*e1-u - u²e{1-u} = u*e1-u(2-u).
Da
u > 0 gefordert ist ist das Extremum 2-u = 0, also u = 2 gemeint.

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