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Nikita
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 17:35: | 
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Hallo,
ich muss eine Facharbeit schreiben über die Berechnung der Bogenlänge.. Kann aber damit ncihts anfangen. Wer kann mir helfen??
Es geht um Berechnung des Bogens eines Kurvenstücks...
Wer kennt vielleicht ein Link zu einer Informationsseite oder so.. Mit fehlt auch der Beweis für die Formel!!!
VIELEN DANK SCHON IM VORAUS!!! |
Thomas
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Januar, 2002 - 08:27: |
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Stell dir eine beliebige Kurve vor, deren Länge du im Intervall [a,b] berechnen möchtest.
Dazu schauen wir alles im ganz Kleinen an:
Wir betrachten ein unendlich kurzes Kurvenstück und nennen es dl. Nun ist dl ja in der Schaufigur eine kleine Strecke mit 2 Endpunkten. Man kann vom 1. zum 2. Endpunkt kommen, indem man entweder dl entlangfährt oder den Umweg parallel zur x-Achse und dann, bei der gleichen x-Koordinate des 2.Endpunktes angekommen, in y-Richtung noch nach oben "fährt", bis man auf dem 2.Endpunkt von dl ist. (tönt ••••••••, habe halt keine schaufigur)
Nun hast du ein rechtwinkliges "Dreieck" mit der Hypotenuse dl, den Katheten (die ja unendlich klein sind, da auch dl unendlich klein ist) dx, jene Kathete parallel zur x-Achse und dy, jene Kathete parallel zur y-Achse.
Nun gilt ja in diesem rechtwinkligen Dreieck nach Pythagoras: dx^2 + dy^2 = dl^2
und dy/dx = f'(x) oder dy=f'(x)*dx
somit ist dl^2 = dx^2 + (f'(x))^2*dx^2
nun kann dx^2 ausgeklammert werden:
dl^2 = dx^2*{1+(f'(x))^2), oder:
dl = wurzel(1+(f'(x))^2)*dx
somit erhalt man für die Länge L im Intervall [a,b]:
Integral(dl, nach x integriert, von a bis b)
Hoffentlich bringt dich das weiter |
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