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Beitrag |
    
Corinna
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 13:11: | 
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Bestimmen sie die ganzrationale Funktion dritten grades, deren Graph die x-Achse im Ursprung berührt und deren Tangenten in P(-3/0) parallel zur Geraden y = 6x ist. |
J
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 08:13: |
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Allgemeiner Ansatz:
ganzrationale Funktion 3. Grades:
f(x)=a*x³ + b*x² + c*x + d
Diese hat die Ableitungen
f'(x)=3*a*x² + 2*b*x + c
f''(x) = 6*a*x + 2*b
Du benötigst 4 Gleichungen.
1) Der ursprung ist Punkt des Graphen ==> f(0) = 0
2) Der Ursprung ist Extrempunkt, da der Graph die x-Achse berührt, also nicht schneidet. ==>f'(0) = 0
3) Der Punkt P ist ein Punkt des Graphen ==> f(-3) = 0
4) die Steigung in P ist 6 ==> f'(-3) = 6
Wenn du die entsprechenden Gleichungen aufschreibst, erhältst du ein lineares Gleichungssystem 4. Grades, das du lösen kannst.
Soweit das allgemeine Verfahren!
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Wie in vielen Fällen lohnt es sich auch hier, die Aufgabe genauer zu besehen:
Mit P(-3/0) ist dir eine weiter Nullstelle gegeben
da der Graph im Ursprung die x-Achse berührt, liegt dort eine doppelte Nullstelle vor.
Somit muss gelten (Satz von Vieta):
f(x)= k*(x+3)*x² = k*(x³+3x²)
f'(x) = k*(3x²+6x)
wegen f'(-3) = 6 muss gelten:
6= k*(3*(-3)² +6*(-3))
6= k*9
k= 2/3
Damit:
f(x)=(2/3)*(x³+3*x²)
Gruß J |
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