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Sonja (Blackcat2001)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 17:34: | 
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Hallo Ihr!
Könntet ihr mir bei dieser Hausaufgabe behilflich sein? Ich komme einfach zu keinem sinnvollen Ergebnis. Ansatz: a = 1/2 tan x??? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 22:47: |
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Hi Sonja ,
Diese Beziehung ist eine direkte Konsequenz der bekannten Doppelwinkelformel der Tangensfunktion;
es gilt bekanntlich:
tan (2 u) = 2 * tan u / [1 - tan^2 (u) ]
1.Methode : Wir verwenden diese Formel., indem wir
ansetzen : x = tan u , damit ist gleichbedeutend: u = arc tan x
Wir können für die linke Seite L Deiner Gleichung
nach obiger Doppelwinkelformel setzen: :
L = arc tan { 2 x / [1 - x ^ 2] } =
arc tan { 2 * tan u / [ 1 - tan^2 (u) ] }=
arc tan { tan ( 2 u ) } = 2 u
Die rechte Seite R ist:
R = 2 * arc tan x , also : R = 2 u ,
Somit gilt L = R ,w.z.b.w.
2.Methode : Anwendung der Differentialrechnung
Jetzt setzen wir die linke Seite als Funktion
f(x) = arc tan [2x / (1 - x ^2] ,
die rechte Seite als Funktion g(x) = 2 * arc tan (x) an.
Wir zeigen, dass die Ableitungen übereinstimmen, dass also
f ' (x) = g ' (x) gilt
Somit unterscheiden sich f (x) und g (x) höchstens durch eine
Konstante c
Also : f(x) = g(x) + c für alle zugelassenen x-Werte .
Setzen wir etwa x = 0 ein , so entsteht :
arc tan 0 = 2 * arc tan 0 + c , also c = 0
Es ist reizvoll , die Ableitungen von f(x) und g(x) zu ermitteln
Bei f(x) benötigen wir die Kettenregel und Quotientenregel, bei
g(x) die Kettenregel
f ' ( x ) = 1 / [ 1 + (q(x)) ^2 ] * q ' (x)
wobei q(x) = 2 x / (1 - x^2) , q ' (x) die Ableitung hiervon ist, somit:
q ' (x) = 2 *(1+x^2) / (1-x^2) ^ 2
Man erhält durch geschicktes Umformen:
f '(x) = 2 / ( 1 + x^2) .
Dies stimmt mit g' (x) überein !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Sonja (Blackcat2001)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 13:50: |
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Vielen Dank für Ihre freundliche Hilfe, Sie haben mir damit wirklich sehr geholfen. Sonja |
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