| Autor |
Beitrag |
    
Wagner Tobias (Drolln)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 16:16: | 
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Aufgaben: Vollständige Induktion
Ich hab mich entschlossen ein Referat zu dem Thema "Vollständige Induktion" zu halten.
Aber leider habe ich das ganze noch nicht so recht kapiert.
Kann mir jemand die nachfolgenden Aufgaben lösen?
Beweise durch vollständige Induktion oder widerlege durch ein Gegenbeispiel.
Gegenbeispiel? Was ist damit gemeint?
1.Alle Zahlen der Form 4n³-n ; n E N* sind durch 3 teilbar.
2.Alle Zahlen der Form 11 hoch n+2 + 12 hoch 2n+1 sind durch 133 teilbar.
3.Theorieteil: Von welcher Person geht die vollständige Induktion aus? K.F.Gauss? |
mathix
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 22:00: |
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Hi Tobi,
also,paß auf, das Prinzip der vollständigen Induktion ist ganz einfach:
(1)Du has die Gleichung 4n³-n gegeben.
Die Behauptung lautet nun, dass diese für alle natürlichen Zahlen lösbar ist (n E N*)
Beweis:
n=1
4*(1)³-1 = 3 , {3 ist durch 3 teilbar) also lautet deine Induktionsverankerung:
4n³-n
n+1
4*(n+1)³- (n+1) = 4(n³+3n+1) - (n+1) =
4(n³+3n+1)-n-1 = 4n³+12n+4-n-1 =(Vor.)
12n+4
12n = -4 -> nicht wahr für alle n € N-> Gegenbeispiel!
Du siehst, die vollständig Induktion zeigt zunächst für n=1 , das heißt für die 1 € N und dann für jeden beliebigen Nachfolger der 1, also für alle natürlichen Zahlen = wahr.
Hoffe ich konnte dir etwas helfen.
Ciaoi |
Ingo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 00:50: |
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Also irgendwie kann ich Dir nicht folgen Mathix.
also lautet deine Induktionsverankerung: 4n³-n
Wo ist da die Voraussetzung ?? Richtig muß es doch wohl ...=3k heißen.
4*(n+1)³- (n+1) = 4(n³+3n+1) - (n+1)
hier hast du ein 3n2 in der Klammer unterschlagen.
4n³+12n+4-n-1 =(Vor.) 12n+4 12n = -4
Wieso das bitte ?? Die Voraussetzung ist 4n³-n=3k und die Folgerung 12n=-4 ist mir völlig schleierhaft.
Sorry,aber da scheint einiges in die Hose gegangen zu sein.
Ich versuche mal einen richtigen Ansatz :
n=1 : 4*1³-1=4-1=3=3*1
Vor. : 4n³-n=3k
Schluß :
4(n+1)3-(n+1) = 4(n3+3n2+3n+1)-(n+1)
= 4n3+12n2+12n+4-n-1 = (4n3-n)+12n2+12n+3
= 3k + 3(4n2+4n+1) = 3 (k+4n2+4n+1)
q.e.d.
2. auch korrekt. Steht hier schon irgendwo im Bord. Benutze die Suchfunktion,um den Beitrag zu lokalisieren.
3. Die VI beruht auf den Peano-Axiomen. |
Falko
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 20:58: |
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Meine Variante ist fast gleich mit der von Ingo: (inkl. Formvollendet)
Aussage: 4n3-n = 3z
Beginn:
4*(1)^3-1= 3z
4*1-1 = 3z
4-1 = 3z
3 = 3z
Also sieht man hier, das die durch 3 teilbare zahl (z) durch drei teilbar ist denn 3:3 = 1.
Somit kann man die Aussage als Voraussetzung nehmen:
4n^3-n = 3z
Darauf folgt Behauptung:
4(n+1)^3-(n+1) = 3 y
4(n^3+3n^2+3n+1) – (n+1) = 3 y
4n^3+3n^2+2n = 3 y
4n^3-n + 3n^2+3n = 3 y
(Hier wurde –n hinzugefügt und anschließend ausgeglichen)
Der erste Teil der Gleichung wurde schon beweisen (Voraussetzung) also folgt dadurch: 4n^3-n = 3z.
Bei dem zweite Teil 3n^2 + 3n klammert man die drei aus und erhält:
3(n^2+n) (Dieser Term ist offensichtlich auch durch drei teilbar.)
Daraus folgt: 3(n^2+n) = 3z‘
Dann folgt:
3z + 3z‘ = 3 y
3(z+z‘) = 3 y
Also sieht man auch hier, dass der durch 3 teilbare Nachfolger (y) durch 3 teilbar ist!
Und dass das Prinzip der vollständigen Induktion angewendet worden ist, sieht man daran, dass die Gültigkeit des Nachfolgers mit Hilfe des Vorgängers gezeigt wird. |
Kanjana
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2012 - 20:49: |
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häh?
ich denke mal so:
zz. 4n³-n
I.-Anfang: n=1 ; a1=4*1³-1 = 3 ; 3/3 = 0 --> wahre Aussage
I.-Behauptung: 4n³-n ist für alle n Elemente der natürliche Zahlen durch 3 teilbar
I.-Schritt: a(n+1)=4(n+1)³-(n+1) [ klammer auflösen ]
=4 n³+3n+3-n+1 [ Annahme wiederfinden ]
=4n³-n+3n+4
4n³-n ist durch 3 teilbar wegen aussage.
--> noch zuzeigen 3n+4 durch 3 teilbar
I.-Anfang: n=1 a1=3*1+4 =7 ; 7/3 = 2,33333 --> wahre Aussage
I.-Behauptung: 3n+4 ist durch 3 teilbar
I.-Schritt: a(n+1)=3(n+1)+4 [ Klammer auflösen ]
= 3n+3+4 [ Annahme wiederfinden ]
=3n+4+3
3n+4 ist durch 3 teilbar wegen Aussage. 3 ist sowieso durch 3 teilbar.
bewiesen :D |
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