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Michel (Michel)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 15:27: | 
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Hi zusammen !
Hier wiederum eine Aufgabe, wo ich Mühe habe.
Die Geraden g durch A ( 9 / 11 / -8 ),
B ( 8 / 9 / -6 ) und h durch
C ( 3 /5 / 1 ), D ( 1 / 7 / 2 ) schliessen als Mantellinien genau den
Öffnungswinkel eines Kegels ein.
a) Berechne die Spitze, den Öffnungswinkel, die Achsenrichtung des Kegels.
b) Wähle von den beiden möglichen Achsenrichtungen diejenige, die parallel
zu einer Koordinatenebene ist und stelle die zugehörige Koordinatengleichung
des Kegels auf.
c) Bestimme die Gleichung der Schnittfiguren mit den Koordinatenebenen und
beschreibe diese Schnittfiguren.
danke im Voraus
gruss
michel |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 16:51: |
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Hi Michel,
Zuerst ermitteln wir die Kegelspitze S als Schnittpunkt
der beiden Geraden m1 = AB und m2 = CD.
Richtungsvektor u = Vektor AB = { -1 ;-2 ; 2 }
Parameterdarstellung von m1:
x = 9 - t , y = 11 - 2 t , z = - 8 + 2 t
Richtungsvektor v = vektor CD = {-2 ; 2 ; 1 }
Parameterdarstellung von m2:
x = 3 - 2 s , y = 5 + 2 s , z = 1 + s
Schnitt der beiden Geraden: Zunächst setzen wir die x -Werte
der beiden Gleichungen und die y-Werte einander gleich;
es kommt:
9 - t = 3 - 2 s und 11 - 2 t = 5 + 2 s ,
daraus s = -1 , t = 4 ; diese Werte befriedigen auch die dritte
Gleichung, die durch die Gleichsetzung der z-Werte entsteht ;
sie lautet:
- 8 + 2 t = 1 + s
Durch Einsetzen der Zahlenwerte für s oder t erhalten wir mit
dem Schnittpunkt die Kegelspitze.
S(5/3/0); beachte, dass S in der (x,y)-Ebene liegt.
Ermittlung der Kegelachse als die eine der Winkelhalbierenden
w in der Ebene, die durch die Mantellinien m1, m2 aufgespannt
wird.
Wir normieren die Vektoren u und v, indem wir sie zu
Einheitsvektoren befördern.
Das geschieht durch Multiplikation dieser Vektoren mit den
Reziprokwerten ihrer Beträge; beide Beträge sind 3, sodass
die normierten Vektoren u1 und u2 so lauten:
u1 = 1/3*{ -1; -2; 2 } und v1 = 1/3 * { -2 ; 2 ; 1 }
Um einen Richtungsvektor der Winkelhalbierenden und damit
der Achse zu erhalten, addieren (oder subtrahieren) wir diese
Einheitsvektoren.
Addition: u1 + v1 = 1 / 3 * { -3 ; 0 ; 3 }
Der Vektor a = {- 3 ; 0 ; 3 }taugt als Richtungsvektor
der Kegelachse, da er - wie verlangt - parallel zur (x.z)-Ebene
verläuft.
Jetzt berechnen wir den halben Oeffnungswinkel alpha
als Winkel zwischen einer Mantellinie und der Achse,
also ist alpha der Winkel der Vektoren a und u;
wir berechnen ihn mit Hilfe des Skalarproduktes
dieser Vektoren so:
cos (alpha) = [ a u] / [abs(a) * abs(u)] = [3+6]/ [ 9*wuzel(12)]
Im Zähler steht das Skalarprodukt der Vektoren,
im Nenner das Produkt ihrer Beträge.
Wir erhalten : cos (alpha) = 1 / wurzel(2) , also alpha = 45°
Damit wird der (doppelte) Oeffnungswinkel gerade 90°.
Anmerkung
Diesen Wert hätten wir sofort aus der Tatsache erschliessen
können, dass das Skalarprodukt der Vektoren u und v null ist .
Dies bedeutet , dass ihr Zwischenwinkel 90° beträgt.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 18:58: |
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Hi Michel,
In dieser Fortsetzung leiten wir eine Koordinatengleichung
des Kegels her.
P(x/y/z) sei der laufende Punkt auf der Kegelfläche.
Wir bilden den Vektor p = SP.
Dann lautet die Bedingungsgleichung :
Winkel ( p, a ) = 45°
Diese Bedingung realisieren wir wiederum mit der oben
verwendeten Formel für die Berechnung des Kosinuswertes
des Winkels.
cos (p, a) = [p.a] / [ abs (p) * abs (a) ]
Wir setzen ein:
cos (p, a) = cos ( 45° ) = 1 / wurzel (2)
p = SP = { x-5 ; y - 3 ; z }
a = {-3 ; 0 ; 3 }
[p.a]=(x-5)*(-3) +(y-3)*0 + z * 3 = - 3x +15 + 3z
abs(p) = wurzel{(x-5)^2 +(y-3)^2 + z^2}
abs(a) = wurzel (3^2+0^2+3^2) = 3 * wurzel(2)
Um die Gleichung auszuwerten, wird quadriert, damit die Wurzeln
wegfallen.
Tut man dies pflichtgemäss und sorgfältig (ordnen und kürzen!),
so erhält man die ersehnte Kegelgleichung
y ^ 2 + 2 x z - 6 y - 10 z + 9 = 0
Zur Kontrolle kannst Du der Reihe nach die Koordinaten
der Punkte A , B, C , D und S einsetzen;
jedesmal wirst Du mit Genugtuung feststellen, dass
die Gleichung befriedigt wird.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 19:55: |
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Hi Michel,
In der Fortsetzung sollen die Schnittkurven des Kegels
y ^ 2 + 2 x z - 6 y - 10 z + 9 = 0
mit den Koordinatenebenen untersucht werden.
1.
wir setzen in der Kegelgleichung z = 0 ein und erhalten:
y ^ 2 - 6 y + 9 = 0; die linke Seite ist ein vollständiges
Quadrat, sodass wir schreiben können:
( y - 3 ) ^2 = 0
Diese Gleichung stellt die zweifach zu zählende Gerade
y = 3 in der (x.y)-Ebene dar.
Längs dieser Geraden berührt der Kegel diese
Koordinatenebene.
2.
Schnitt mit der (y,z)-Ebene:
wir setzen x = 0;es entsteht:
y ^ 2 - 6 y - 10 z + 9 = 0; wir lösen nach z auf :
z = 1/10 * ( y ^ 2 - 6 y + 9 ) .
Diese quadratische Funktion in y stellt in der (y,z)-Ebene
eine Parabel dar, deren Achse zur z-Achse parallel ist.
Der Scheitel der Parabel liegt auf der y-Achse
Koordinaten des Scheitels y = 3 , z = 0
Schnittpunkt der Parabel mit der z-Achse : y = 0 , z = 9 / 10 .
3.
Schnitt mit der (x,z)-Ebene
wir setzen y = 0 und erhalten :
2 x z - 10 z + 9 = 0
Diese Gleichung stellt eine Normalhyperbel dar,
eine Hyperbel, deren Asymptoten aufeinander senkrecht stehen.
Wir lösen nach z auf:
z = 9 / ( 10- 2 x )
Asymptote parallel zur z-Achse, Gleichung x = 5
Asymptote parallel zur x - Achse : z = 0 (x-Achse herself) .
Mittelpunkt M der Hyperbel als Schnittpunkt der Asymptoten
M ( x = 5 , z = 0 )
Die Hyperbel schneidet die z - Achse im Punkt
x = 0 , z = 9 / 10 .
Damit ist Deine Aufgabe vollumfänglich gelöst !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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