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Beitrag |
    
kirsten
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 18:52: | 
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Bitte helft mir schnell :
Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis . Wie
muß man bei gegebenem Kanalumfang u die Rechteckseiten wählen ,damit die Querschnittfläche
(d.h. das Fassungsvermögen des Kanals) möglichst groß ist .
Ich danke euch im voraus . |
Marwilde (Marwilde)
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 22:46: |
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Hi Kirsten,
seien b die Breite des Kanalrechteckes und h die
Hoehe des Kanalrechteckes. Dann hat der Kreis den
Radius b/2.
Für den Kanalumfang U gilt:
U = Breite des Rechtecks + 2 * Höhe des Rechteckesb + Umfangfang des Halbkreises.
Also:
U = b + 2h + 0.5B*PI bzw
h = 0.5U - 0.5b - 0.25B*PI (1)
Für den Flächeninhalt F des Kanalquerschnitts gilt:
F = Rechteckfläche + halbe Kreisfläche
Also:
F = bh + (1/8)PI * b^2 (2)
Wenn man nun (1) in (2) einsetzt, erhält man den Flächeninhalt in Abhängigkeit von der Rechteckbreite:
F(b)=(-0.5 - 0.125PI)b^2 + 0.5bU
Das ist eine nach unten geöffnete Parabel, deren
Maximum wir durch Nullsetzen der ersten Ableitung
F'(b) = 2(-0.5-0.125PI)b + 0.5U
bestimmen.
Ich habe dabei
b = (2/(4+PI))U (3)
als Ergebnis bekommen.
Setzt man nun noch (3) in (1) ein, so erhält man
h = (1/(4+PI))U (4)
Mit (3) und (4) haben wir nun Breite und Höhe des
Kanalrechteckes in Abhämgigkeit vom Umfang derart bestimmt, dass der Flächeninhalt des Kanalquerschnitts maximal ist.
Hoffe, ich habe mich nicht verrechnet, und es hilft dir
Grüsse
Marwilde |
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