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Beitrag |
    
Erwin Lacher (Kobold01)
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 18:27: | 
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Die Aufgabe lautet wie folgt:
Wie groß ist die Fläche zwischen dem Schaubild von f:x-->x(x-3)^2 und der Tangente im Hochpunkt?
Ermittle dann den Inhalt der Fläche, welche das Schaubild der Funktion f:x-->x-x^3 mit der Normalen im Wendepunkt einschließt.
Habe schon den Hochpunkt zu 1. und den Wendepunkt zu 2. ausgerechnet. Wie aber berechne ich nochmal die Tangente und die Normale ???? Bitte um schnelle Hilfe.
Anmerkung. Wie kann ich überhaupt das Integral berechnen wenn ich nicht weiß in welchem Abschnitt?
Gruß Kobold01 |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 20:22: |
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Hallo Erwin,
Zu 1)
f(x)=x(x-3)²
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Hochpunkt bei (1;4)
Gleichung der Tangente: y=4
Schnittpunkt Tangente mit Kurve:
bei (1;4) Hochpunkt
und (4;4)
Fläche: Das Integral ist also für die Grenzen x=1 bis x=4 zu nehmen.
ò1 4x³-6x+9x = 21/4
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Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 20:23: |
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Tippfehler: Unter dem Integral steht:
x³-6x²+9x |
Erwin Lacher (Kobold01)
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 22:05: |
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Danke |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 15:13: |
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Hallo Erwin,
Hier noch die zweite Aufgabe:
f(x)=x-x³
========
f'(x)=1-3x²
f"(x)=-6x
Wendepunkt:
-6x=0
x=0
WP=(0;0)
=========
Tangentensteigung im WP:
f'(0)=1
Steigung der Normalen im WP:-1
Gleichung der Normalen: y=-x
================
Schnittpunkte der Nomalen mit Kurve:
x-x³=-x
x1=-W(2)
x2=0
x3=-W(2)
==============
Fläche zwischen Kurve und Normalen:
Wir müssen das Integral in 2 Abschnitten berechnen:
1) von -W(2) bis 0
2) von 0 bis W(2)
Wir bilden Differenz zwischen f(x) und Normalengleichung:
x-x³-(-x)=2x-x³
A1=ò-W(2) 0(2x-x³)dx=x²-x4/4=0-(2-1)=-1
A2=ò0 W(2)(2x-x³)dx=1
===========
Wir nehmen alle Flächen immer positiv: A=A1+A2=2
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Erwin Lacher (Kobold01)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 21:00: |
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Hallo Fern, hab deine Lösung für a) vorhin mal durchgerechnet und kam zu völlig anderen Ergebnissen (leider). Mein Rechenweg:
f(x)=x(x-3)² = x(x²-6x+9) = x³-6x+9x
f'(x)=3x²-12x+9
f''(x)=6x-12
Extremstellen:
f'(x)=0 --> x1=1 und x2=3
f''(1)=-6<0 also lokales Maximum
f''(3)= 6>0 also lokales Minimum
--> Hochpunkt H(1/4);
Tangente im Hochpunkt:
y=3
Schnittpunkte der Tangente und f(x):
x1=1 und x2=4, also Integral von 1 bis 4 berechnen:
/Integral von 1 bis 4 für f(x)-y /= /x³-6x²+9x-3/=/[0,25x^4-2x³+4,5x²-3x]von 1 bis 4 /= 3,75
/ = Betragstrich
Also ist die Fläche doch 3,5 und nicht 21/4, da ich die Tangente von f(x) abziehen muss oder????
Ich hoffe du kannst mir weiterhelfen. Gruß Kobold01 |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 08:37: |
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Hallo Erwin,
Stimmt! Ich habe vergesssen, die Fläche unter der Tangente abzuziehen.
Richtiges Ergebnis also: |21/4-4*3| = 27/4
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Deine Rechnung ist soweit richtig [kleiner Tippfehler bei f(x)] bis auf den entscheidenden Fehler:
Falls Hochpunkt (1;4) ist, dann ist Tangente y=4 (nicht y=3!).
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Gruß, Fern |
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