| Autor |
Beitrag |
    
Angela Vogt (Angela77)
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 15:12: | 
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Hallo ihr Lieben!
Könnt ihr euch mal diese Aufgabe anschauen. Sie scheint eigentlich recht
einfach zu sein, allerdings haperts bei der Durchführung des Ansatzes.
Also hier die Aufgabe
========Zeichen========
a = Vektor a
b = Vektor b
r, s, t = Paramter Werte der Vektoren
e = "Element von..."
R³ = Raum der reellen Zahlen, im 3-Dimensionalen (x,y,z - Achse)
SPAN {a,b}= "Ebene aufgespannt durch a und b"
======================Aufgabe======================
Zeige, dass das Volumen des von den Vektoren a, b, c e R³
aufgespannten Spates
S= {r*a + s*b + t*c | 0 <= r,s,t <= 1}
gegeben ist durch V = | < a x b > , c |.
Hinweis: Verwende die "Schulformel" V = F * h, wobei F die
Fläche des von den linear unabhängig vorausgesetzten
Vektoren a, b aufgespannten Parallelogramms, und h die Höhe des
Spats über der Grundfläche ist. Drücke h mit Hilfe der
Orthogonalprojektion auf die Ebene SPAN {a,b} aus.
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Mein Ansatz:
Ich habe das Problem, insofern erkannt, als daß ich die "Schulformel" für
den Flächeninhalt nehme, meine Informationen über den Flächeninhalt F und die
Höhe h einbringe und die ganze Sache herunterrechne, bis ich auf die gesuchte Form
V = | < a x b > , c | komme. Für F würde ich mich des Vektorprodukts bedienen, also schreiben
|a|*|b|*sin(alpha) = |c| = F (alpha ist der von a und b eingeschlossene Winkel). Für die Höhe
h fällt mir momentan nichts ein wie ich sie "darstellen" könnte
Allerdings bereitet mir dieses "einfache" herunterrechnen
Probleme. Evtl. sind mir ja entscheidende Rechenschritte/Rechenformeln nicht offensichtlich...
Also schonmal vielen Dank für Eure Hilfe !!!!
Ciao Angela! |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 18:12: |
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Hallo Angela,
V=|(a x b).c|
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Üblicherweise schreibt man das Skalarprodukt mit einem Punkt (und nicht mit Komma).
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Grundfläche G= |a x b| also der Betrag des Vektors (a x b)
Höhe H= Betrag der Vektorkomponente c in Richtung (a x c).
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Zwischenbemerkung: Der Betrag der Vektorkomponente eines Vektors u in Richtung eines anderen Vektors v errechnet sich mit:
u.v/|v| also das Skalarprodukt aus u und v dividiert durch den Betrag des Vektors v. Oder anders aufgefasst: Skalarprodukt aus u und dem normierten Vektor v.
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Also:
H= c.(a x b)/|a x b|
Volumen= G mal H = |a x b|*c.(a x b)/|a x b| = c.(a x b)
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Wobei man noch die Absolutstriche setzen kann, weil Volumen immer positiv zu nehmen ist.
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