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Beitrag |
    
ANJA
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 14:49: | 
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Ich würde mich freuen, wenn mir das jemand eimal Schritt für Schritt erklären könnte! Vielleicht schickt ihr mir mal eine e-Mail?
Danke im voraus! |
Walter Sobchack (Smokinsoldier)
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 14:22: |
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Also hier ein kleiner Exkurs in Kurvendiskussion:
Generell kannst du dir das Ganze in sechs Teile unterteilen:
1) Definitionsbereich
2) Nullstellen
3) Aymptoten
4) Extremstellen
5) Wendestellen
6) Zeichnung
Dies sollte auch die Reihenfolge sein, in der du vorgehst, ist am praktischsten so 
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Also, first step: Definitionsbereich
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Definitionsbereich ist der Bereich, in der die Funktion definiert ist, wie der Name schon sagt. Im Klartext heisst das, welche Zahlen für x Du einsetzen kannst, um einen y-Wert zu bekommen.
Einfaches Beispiel: f(x) = x^2
hier ist der Definitionsbereich -inf,+inf, d.h. von minus unendlich bis plus unendlich, also alle Zahlen. In einer Arbeit würdest du also schreiben: Df (-inf,+inf) [Anm. Anstatt inf machst du das Zeichen für Unendlich, eine umgefallene 8]
Das war ja einfach. aber es gibt auch Situationen, da kannst du nicht jedes x verwenden. Zum Beispiel hier:
f(x) = 5/x
Wenn du jetzt für x 0 (Null) einsetzt, wird dir dein Taschenrechner einen Fehler anzeigen, da du durch Null teilen willst (was so ziemlich das schlimmste ist, was man machen kann in Mathe . Also was passiert jetzt mit unserem Definitionsbereich? Ganz einfach, du lässt die 0 (Null) einfach raus:
Df (-inf,0) u (0,+inf)
Definitionslücken treten vor allem bei gebrochen rationalen Funktionen auf. Dann nimmst du einfach den Nenner und setzt den gleich 0 (Null).
1. f(x) = x^3/(4x^2-16x+16)
2. 4x^2-16x+16 = 0 / durch 4 teilen
3. x^2-4x+4 = 0 / pq-Formel
4. x = 2 +- 0
Jetzt weisst du, das die Funktion bei x = 2 eine Definitionslücke hat. Also:
Df (-inf,2) u (2,+inf)
Das war's mit Definitionslücken
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2. NULLSTELLEN
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Nullstellen sind die Punkte, bei denen der Graph die x-Achse berührt oder schneidet. Um das herauszufinden setzt du einfach die Funktion gleich Null. Bei gebrochen-ratinalen Funktionen musst du nur den Zähler gleich Null setzen.
Meisstens braucht man dann die pq-Formel.
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3. Asymptoten
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Asymptoten sind Linien oder Kurven, an die sich der Graph anschmiegt. Es gibt zwei Arten von Asymptoten: Horizontale und Vertikale.
Horizontale:
Bei horizontalen Asymptoten musst du den Zähler durch den Nenner bei einer gebrochen rationalen Funktion teilen. bei dem obrigen beispiel wäre das also (x^3) / (4x^2-16x+16). Durch Polynomdivision kommst du zu diesem ergebnis:
0.25x - REST (Rest ist ein gewusel aus x, was eventuell gleich null ist)
Daraus Folgt, das die horizontale Asymptote = 0.25x ist.
Vertikale Asymptoten
Das sind Asymptoten die auf dem Definitionsbereich begründet sind. Wo eine Definitionslücke ist, ist auch eine vertikale Asymptote, also vert. Asympt.: x = 2!
Fast geschafft!
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4. EXTREMSTELLEN
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Extremstellen finden heisst die erste Ableitung einer Funktion nehmen und die gleich null setzen.
In einem Graphen sind Extremstellen die Höhepunkte (jaja) und Tiefpunkte. Also x^2 zum Beispiel hat einen Tiefpunkt bei x = 0. das ist der Tiefste Punkt des Graphen. Ein Graph kann mehrere Höhe-und Tiefpunkte haben.
Um zu beweisen das x^2 bei x = 0 einen Tiefpunkt hat, machen wir folgendes:
1. f(x) = x^2
2. f'(x) = 2x (Das ist die erste Ableitung)
3. 2x = 0 => x = 0
Und das war's mit Extremstellen. Natürlich sind die Ableitungen nicht immer so einfach wie hier, es gibt da Regeln und so, aber die kannst du ja bestimmt (Kettenregel, Produktregel usw).
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5. Wendestellen
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Um wendestellen zu errechnen muss man die ableitung der ersten ableitung nehmen und sie gleich null setzten. alles ganz easy.
Beispiel: f(x) = x^3
f''(x) = 6x = 0
Daraus folgt: x = 0, also bei x = 0 ändert sich die Krümmung.
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6. ZEICHNUNG
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Nun musst du den ganzen quatsch noch zeichen. um die y-werte der extrem und wendestellen zu bekommen setzt du den x-wert in die ursprüngliche funtion ein.
Ich hoffe das hat etwas geholfen, falls noch fragen sind, etwas unklar ist (weil meine handschrift unleserlich ist oder so) schreibs hin
Chris |
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