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Beitrag |
    
garfield
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 11:02: | 
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folgende Aufgabe bereitet mir Probleme:
Das Schaubild einer Funktion f mit f(x)=(ln x)² hat mit der Geraden g:y = 1 zwei Schnittpunkte S1 und S2. Wenn das Kurvenstück von K zwischen S1 und S2 um die y-Achse rotiert, entsteht eine kreisförmige Rinne.
Wieviel Liter faßt diese Rinne, wenn als LE 1 dm angenommen wird?
Mein Ansatz:
Bestimmung von S1 und S2 ist ja kein Problem:
S1(e/1), S2((1/e)/1)
Dadurch wird ja schon deutlich das die Funktion nicht injektiv, also nicht umkehrbar ist.
Um sie in zwei streng monoton verlaufende Intervalle aufzuteilen, habe ich die Nullstelle bestimmt:
f(x)=0 --> x = 1
Jetzt müßte ich also das Rotationsvolumen für das Intervall1 [0;1] und für das Intervall2 [1;e] bestimmen können.
.....................f(0) _
für V1 gilt: V1 = pi* § (f(x))² dx ,weil f smf
.....................f(1)
.....................f(e) _
für V1 gilt: V1 = pi* § (f(x))² dx ,weil f sms
.....................f(1)
f(0) ergibt aber "unendlich" und es scheint sich auch nicht um ein uneigentliches Integral zu handeln (war meine Grenzwertbetrachtung falsch?).
Wer kann mir weiterhelfen? |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 12:55: |
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Ich versuche es mal: Die Umkehrfunktion für x von 0 bis 1 ist : g1(x)=e-Öx
1 bis e ist : g2(x)=eÖx
Da Die Funktion zwischen S1 und S2 den Wertebereich [0;1] hat, ist dies der Definitionsbereich, in dem ich die Umkehrfunktion integrieren muß.
Um das Volumen der Rinne zu bekommen, muß ich
das Volumen des Rotationskörpers von g1 (äusserer Rand)von dem von g2(innerer Rand) abziehen:
Also:
V= pò0 1 (g2(x))2-(g1(x))2 dx
Dieses Integral ist bestimmt und ich denke auch die Lösung. Wenn etwas unklar ist, frag nochmal
Mein Ergebnis lautet: V=p*(1/2e2+3/2e-2)=12,25 l |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 17:54: |
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Ich habe mir noch erlaubt, meine Gedanken in Winfunktion zu bestätigen:
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Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 18:05: |
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Jetzt habe ich mir erst nochmal richtig Deinen Ansatz angeschaut. Dein Fehler liegt daran,daß Du
f(x) um die x-Achse rotieren läßt, wenn, dann müßtest Du das von 1/e bis e machen und nicht von 0 bis e. Du willst aber f(x) um y-Achse rotieren, also mußt Du f-1(x) um x rotieren, was ich mit g1 und g2 gemacht habe. Ich hoffe, Du kommst mit allem zurecht, wenn nicht frag nochmal |
nobbert
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 18:21: |
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Danke für die große Mühe, habe meinen Fehler verstanden.
Probleme habe ich nur mit der Bildung der Stammfunktion beim Integrieren. Könntest Du mir das noch mal erklären?
PS: Wo kann man denn dieses Programm "Winfunktion" bekommen? |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 08:12: |
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Hallo nobbert,
das Programm gibt es in den meisten Computerläden günstig zu kaufen. Gute Bibliotheken bieten es aber auch zum Ausleihen an, wie z.B bei mir in Nürnberg.
Ich habe im Internet noch nicht gesucht, vielleich kann man es sich sogar irgendwo herunterladen.
(g2(x))2 = e2Öx
Substitution: t=2Öx
dx/dt=t/2
=> neuer Integrand: 1/2tet
1/2òtet=1/2(tet - ò1*et)
(partielle Int.)
=1/2*(et(t-1))= (Resubstitution) 1/2(e2Öx(2Öx-1) von 0 bis 1 = 4,19
g1(x) geht analog, nur mit dem '-'. Kriegst Du es hin? |
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Rille1
