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Katja
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Januar, 2001 - 13:50: | 
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Hi,
ich habe folgendes Problem, ich weiß nicht wie ich diese Aufgaben lösen soll. Bei a) komme ich z.B. immer auf x-y=10 und dann weiß ich nicht weiter.
Also die Aufgabenstellung lautet folgendermaßen: Untersuchen Sie, ob die beiden nachfolgend jeweils durch ihre Gleichungen angegebenen Kreise k1 und k2 gemeinsame Punkte besitzen! Wenn dies der Fall ist, dann berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte!
a) k1: (x-1)²+(y-2)²=5
k2: (x-6)²+(y+3)²=25
b) k1: (x-1)²+(y-2)²=5
k2: (x-5)²+(y-10)²=45
c) k1: (x+3)²+(y+2)²=13
k2: (x-1)²+(y-2)²=5
Danke Katja |
IQzero
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Januar, 2001 - 17:51: |
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Hi Katja!
Bei a) komme ich erst auf die Gleichung: 10x - 10y = 20. Wenn ich die dann durch 10 teile komme ich auf: x - y = 2 (!)
=> y = x - 2
Das kannst Du für y in k1 einsetzen:
(x - 1)² + (x - 2 - 2)² = 5
=> x² - 5x +6 = 0
=> x = 2 v x = 3
Das sind die Schnittstellen. Wenn Du diese in y = x - 2 einsetzt, dann bekommst Du die Schnittpunkte:
S1(2 | 0) ; S2(3 | 1)
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Januar, 2001 - 18:12: |
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Hi Katja,
Das Lösungsprinzip ist für alle drei Aufgaben das folgende:
man subtrahiert eine der Kreisgleichungen von der anderen;
man bildet also die Differenzen der linken und rechten Seiten
und setzt sie einander gleich.
Man erhält auf diese Weise eine lineare Gleichung in (x ,y)
der Form L(x,y) = 0.
Diese lineare Gleichung stellt eine Gerade g dar, welche
durch die Schnittpunkte S1, S2 der beiden Kreise geht..
Ob diese Schnittpunkte reell oder imaginär sind, hängt davon ab,
ob die Kreise sich schneiden oder nicht.
Wir nennen diese Gerade die Potenzgerade der beiden Kreise.
Was das Wort bedeutet, ist im Moment unwichtig.
Sodann lösen wir die lineare Gleichung nach x ( oder y ) auf
und setzen den Wert in eine der beiden Kreisgleichungen ein.
Es entsteht eine quadratische Gleichung in der verbleibenden
Variablen.
Die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung gibt Auskunft
über die Lösbarkeit.
Die Beispiele
a) x^2 + y^2 - 2x - 4 y = 0
x^2 + y^2 - 12 x + 6y + 20 = 0
Differenz: 10 x - 10 y - 20 = 0 oder x = 2 + y , eingesetzt in die
erste Kreisgleichung:
2 y ^ 2 - 2 y = 0 oder 2 y * ( y - 1 ) = 0 , daraus
y = 0 , führt auf x = 2 also S1(2/0)
y = 1 , führt auf x = 3, also S2(3/1)
b) x^2 + y^2 - 2 x - 4 y = 0
x^2 + y^2 - 10 x - 20 y + 80 = 0
Differenz 8x + 16 y - 80 = 0 oder x = - 2 y + 10,eingesetzt;:
5 y ^2 - 40 y + 80 = 0 0der y ^ 2 - 8 y + 16 = 0
Die linke Seite ist ein vollständiges Quadrat, nämlich:
( y - 4 ) ^ 2 = 0; die Gleichung hat die Doppellösung y = 4,
dazu gehört x= 2
Die Gerade berührt den Kreis ,es gibt nur einen Schnittpunkt
S( 2 / 4 )
Fazit. Die beiden Kreise berühren sich im Punkt S.
c) x^2 + y^2 + 6 x + 4y = 0
x ^2 + y^2 - 2x - 4y = 0
Differenz: 8x + 8y = 0 oder y = - x , eingesetzt:
2 x ^2 + 2x = 0, also
2x * (x+1) = 0
Lösungen:
x = 0 ,daraus y = 0 , S1( 0 / 0 )
x = -1 daraus y = 1 , S2( -1 / 1 )
Hoffentlich ist alles klar !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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