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Fabian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 14:42: | 
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Hallo!
Ist einer von euch schlauen Köpfen in der Lage, mir das Substitutionsverfahren bei der Integralrechnung an ein oder zwei einfachen Beispielen wie f(x):= (3x+4)³ oder so zu erklären. Ich bin kein Dummkopf ;) aber mein Lehrer hat das unzureichend erklärt, ich würds aber bis morgen gerne wissen.
Danke im Voraus |
IQzero
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 18:36: |
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Hi Fabian!
Substitution bedeutet erst mal einfach nur ersetzen.
{ § soll mal das Integralzeichen sein }
Wir ersetzen die Klammer durch u, also: u = 3x+4 . Vieleicht kennst Du schon die oft hilfreiche Schreibweise: df/dx bedeutet die Funktion f(x) nach x abzuleiten. Also ist in unserem Fall du/dx = 3 (d.h. die Ableitung von 3x+4)
§ (3x+4)³ dx
{ die Klammer durch u ersetzen: }
= § u³ dx
{ Aus du/dx = 3 folgt dx = 1/3 du. Auch noch dx ersetzen: }
= § u³ 1/3 du
= § 1/3 u³ du
{ Weil kein x mehr zu sehen ist können wir jetzt 'aufleiten': }
= 1/12 u^4
{ wieder zurückersetzen }
= 1/12 (3x+4)^4
============
Fertig ist die Stammfunktion!
Du kannst das Ergebnis überprüfen, indem Du es nach Kettenregel ableitest, denn die Substitutionsmethode ist die Umkehrund der Kettenregen.
Da ich gerade leztens auch eine Frage dazu beantwortet habe, recycele ich jetzt noch ein paar Beispiele für Dich:
§ (12x²+4a)/Ö(x³+ax) dx
{ substituiere u = x³+ax => du/dx = 3x²+x => dx = du / (3x²+a) und setze alles ein und klammere im Zähler 4 aus }
= § 4(3x²+a) /(Öu (3x²+a)) du
= § 4/Öu du
= § 4 u^(-1/2) du
= -8u^(1/2)
= -8Öu
= -8Ö(x³+ax)
==============
§ a² / (a-2x)² dx
{ substituiere u = a-2x => du/dx = -2 => dx = -1/2 du dann alles einsetzen: }
= § a²/u² (-1/2 du)
= § -1/2 a² u^-2 du
= 1/2 a² u^-1
= a² / 2u
= a² / 2(a-2x)
===========
Denke an das Pi was vor dem Integral noch stand!
§ 2sin(Pi/4 x + Pi/4) dx
{ substituiere u = Pi/4 x + Pi/4 => du/dx = Pi/4 => dx = 4/Pi du }
= § 2sin(u) 4/PI du
= § 8/Pi sin(u) du
= -8/Pi cos(u)
= -8/Pi cos(Pi/4 x + Pi/4)
===================
Ich hoffe Du kannst das nachvollziehen. Wenn Dir noch etwas unklar ist, dann frag einfach nach. |
Fabian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 23:12: |
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Klar kann ich! Danke!! Mit diesen Zusatzinfos kann ich ja morgen im Mathe LK wieder glänzen :-p.
Die anderen Beispiele sind erstmal nicht so wichtig, denn mein Lehrer meinte, wir würden zunächst in der Klammer bei ihm nur lineare Funktionen antreffen. Vielleicht komm ich vor der nächsten Klausur nochmal drauf zurück. |
Sara_a (Sara_a)
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Registriert: 11-2010
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2010 - 20:15: |
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hallo
könnte mir jemand evtl. das Substituieren erklären
Danke schön!!! |
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