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Beitrag |
    
Elly
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 14:22: | 
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Hallo!
Ich checke meine HA nicht so ganz! Ich soll das Volumen des Kreises(also: V=4/3pi*r^3) beweisen.
Habe den Kreis jetzt rotiert, denke ich muss den Satz des Pothagoras anwenden um f(x) zu betsimmen. Das wäre dann f(x)=Wurzel aus r^2 - x^2
Man muss von -r bis r integrieren, r ist dabei constant.
Ansetzen kann ich ja(hoffe ich!) Das wäre dann V= Pi* Integral von -r bis r*f(x)^2*dx
Und nun? WEr kann den Beweis fortführen? Vielen Dank wenn ihr mir helfen würdet!
MfG Elly |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 14:59: |
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Hallo Elly!
Sieh' mal weiter unten unter:
Volumen einer Halbkugel. |
IQzero
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 18:42: |
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Hi Elly!
Wenn man die auf das Intervall [a;b] beschränkte Funktion f(x) um die x-Achse rotieren lässt, so hat der entstehende Rotationskörper das Volumen:
V = Pi a§b f(x)² dx
{ dabei soll § das Integralzeichen, a die untere und b die obere Grenze sein. }
Um Als Rotationskörper eine Kugel zu erhalten lassen wir einen Kreisbogen mit dem Ursprung als Mittelpunkt rotieren. Wegen Pythagoras gilt dann:
x² + y² = r²
=> y = f(x) = Ö(r² - x²)
Der Kreisbogen scheidet bei x = -r und x = +r die x-Achse, also sind a = -r und b = +r die Grenzen des Intervalls. In unserem Falls ergibt sich also als Rotationsvolumen:
V = Pi -r§r Ö(r² - x²)² dx
Da der Bogen symmetrisch zur y-Achse ist, kann man auch der Einfachheit halber als Grenzen [0;r] nehmen und das Volumen dafür verdoppeln. Ausserdem fällt die Wurzel gegen das Quadrat weg:
V = 2Pi 0§r r² - x² dx
............................r
V = 2Pi [r²x - 1/3 x³]
...........................0
V = 2Pi (r²r - 1/3 r³ - 0)
V = 2Pi 2/3 r³
V = 4/3 Pi r³
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