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Michel (Michel)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 12:29: | 
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Hi zusammen !
Hier nochmals eine Aufgabe, wo ich Probleme habe, diese zu lösen.
Ein gerader Kreiskegel ist gegeben durch die Kegelgleichung 4*x^2 - 80* x - 25 * y^2 - 25*z^2 + 400 = 0
Bestimme seinen Grundkreis in der (y,z ) Ebene und seine Spitze. Skizziere damit diesen Kegel.
Skizziere an die Mantellinie durch den Punkt P tief i ( 0/2/z tief i ) Tangentialebenen und stelle eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden dieser Tangenatialebenen auf. Berechne auch die Koordinatengleichung einer dieser Tangetailebenen.
danke im Voraus
p.s. ein herzliches Dankeschön auch an megamath für die guten Erklärungen!
michel |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 15:27: |
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Hi Michel,
Deine Aufgabe ist instruktiv und lehrreich
Die Lösung erfordert allerdings einigen Aufwand ;
ich präsentiere Dir hier eine detaillierte Lösung:
a) Gleichung des Leitkreises in der (y,z)-Ebene x = 0:
25 y^2 + 25 z^2 = 400 oder y^2 + z^2 = 16
Mittelpunkt im Nullpunkt , Radius r = 4
b) Kegelspitze S: Schnitt des Kegels mit Ebenen x = h
parallel zur (y,z)-Ebene:
4h^2 - 80 h + 400 = 25 y^2 + 25 z^2;
in dieser Gleichung ist h so zu wählen, dass der
Schnittkreis den Radius null hat und so zum "Nullkreis"
wird
Zu diesem Zweck setzen wir die linke Seite null
und bekommen die Gleichung ( 2h - 20 ) ^ 2 = 0 ,
also h = 10; die Spitze S hat somit die Koordinaten:
xS = 10 , yS = zS = 0 : S ( 10 / 0 / 0 ).
c) Bestimmung der Punkte mit x = 0 , y = 2 , z = ? auf der
Kegelfläche durch Einsetzen dieser Koordinaten in die
Kegelgleichung:
-100 - 25 z^2 + 400 = 0, daraus z ^ 2 = 12 ,
z = (+-) wurzel (12).
Die Punkte sind :
P1 ( 0 / 2 / 2 * wurzel(3)) , P2 (0 / 2 / - 2 * wurzel(3))
d) Parameterdarstellung der Mantellinien
m1 = S P1 und m2 = S P2:
Richtungsvektor von m1.: {-10; 2; 2*wurzel(3)}
Gleichung:
x = 10 - 10* t , y = 2* t , z = 2*wurzel(3) * t
Durchstosspunkt D1 mit der (y,z)-Ebene: x = 0 ;
es muss t =1 gesetzt werden,, damit kommt:
D1 ( 0 / 2 / 2*wurzel(3) )
dasselbe mit m2::
Vektor S P2 = {-10;2;-2*wurzel(3)}
x = 10-10 * t, y = 2* t , z = - 2* wurzel(3) * t
Durchstosspunkt D2 von m2 mit der(y,z)-Ebene x=0;
wiederum ist t = 1:
D2 ( 0 / 2 / - 2* wurzel(3) )
e) Ermittlung der Tangenten t1 und t2 in D1 und D2
an den Leitkreis; diese Tangenten sind die
Spurgeraden der beiden Tangentialebenen des Kegels,
in der(y,z)-Ebene.
Allgemeine Tangentengleichung des Leitkreises:
y1 y + z1 z = 16 , wobei y1 und z1 die Koordinaten des
Berührungspunktes sind; die Rolle dieser Punkte
übernehmen D1 und D2, also
t1: 2y + 2*wurzel(3)* z = 16:
t2 : 2y - 2*wurzel(3) *z = 16
Diese beiden Geraden schneiden sich auf der y-Achse
im Punkt T( 0 / 8 / 0) .
f) Die Verbindungsgerade ST ist die gesuchte
Schnittgerade s der beiden Tangentialebenen
Richtungsvektor ST von s: {-10:8;0},
Parameterdarstellung von s:
x = 10 - 10 t , y = 8 * t , z = 0
g) Gleichung der Tangentialebene, welche durch P1: geht.
Diese Tangentialebene ist durch die Punkte P1, S, T
bestimmt.
Wir bilden die Vektoren u = ST = {-10;8;0} und
v = S P1 ={-10; 2; 2*wurzel(3)}
Das Vektorprodukt n = u x v ={16*wurzel(3);20*wurzel(3);60}
ist ein Normalenvektor dieser Ebene.
ihre Gleichung lautet:
4*wurzel(3)* x + 5 * wurzel(3)* y + 15 z = 40 * wurzel(3)
Die unter f) gesuchte Gerade s ist gerade die Schnittgerade
der Tangentialebene mit der (x,y)-Ebene, die sogenannte
erste Spur der Tangentialebene.
Koordinatengleichung von s:
4 * x + 5 * y = 40 .
Damit lässt sich das Ergebnis aus Abschnitt f) bestätigen ,
wenn jene x- und y- Werte in die Koordinatengleichung
eingesetzt werden, wird letztere identisch erfüllt..
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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