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Beitrag |
    
Joanna
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Januar, 2001 - 18:46: | 
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Ein drehsymmetrisches Wasserbecken hat eine Parabel mit der Gleichung y=ax² als Brandung des Querschnittes. Beim Wasserstand 5 m hat die Wasseroberfläche einen Durchmesser von 20 cm.
a) Welche Gleichung hat die Parabel ?
b) Welchen Rauminhalt hat das Becken beim höchsten Wasserstand 8m ?
***Dankeschön*** ;-Þ
Joanna |
IQzero
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Januar, 2001 - 21:17: |
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Hi Joanna!
a)
Wenn Du die begrenzende Parabel in ein Koordinatensystem einzeichnest dann siehst Du, dass die sie durch den Punkt (10 | 500) geht. 10 cm ist der halbe Durchmesser und 500 ist die Wasserhöhe in cm gemessen (Alle Zahlen ohne Einheiten sind im weiteren in cm). Mit diesem Punkt lässt sich a berechnen indem man ihn in die Gleichung y = ax² einsetzt:
500 = a 10²
=> a = 5
Also lautet die Parabelgleichung:
y = 5x²
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b)
Um das Volumen mit Hilfe der Rotationsformel bestimmen zu können, müssen wir erst die Parabel 'auf die Seite' legen, da das Becken rotationssymmetrisch zur y-Achse ist und die Volumenformel aber nur funktioniert, wenn man um die x-Achse rotieren lässt. (So interpretiere ich die Aufgabe zumindest)
Also müssen wir zuerst die Umkehrfunktion ausrechnen, indem wir x und y vertauschen und danch wieder nach y umstellen:
x = 5y²
=> y = Ö(1/5 x)
Die Volumenformel für Rotationskörper lautet:
.........a
V = Pi § f(x)² dx
.........b
( § stellt das Integralzeichen dar, in den Zeilen darüber und drunter stehen die Grenzen.)
In unserem Fall ergibt sich:
........800
V = Pi § Ö(1/5 x)² dx
.........0
........800
V = Pi § 1/5 x dx
.........0
...................800
V = Pi[ 1/10 x²]
....................0
V = Pi (1/10 * 800² - 1/10 * 0²)
V = 64000Pi
V = 64Pi m³
=========
Ich hoffe das ich die Aufgabe so gerechnet habe wie sie gemeint gewesen ist und Du das auch nachvollziehen kannst. Wenn nicht dann melde Dich einfach nochmal! |
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