| Autor |
Beitrag |
    
Martin Lindenlauf (Fußgänger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Januar, 2001 - 15:54: | 
|
Hallo zusammen,
Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter, wer kann mir ein paar Tips geben:
Die Ebene E (Teilmenge von) R³ sei durch die Gleichung 2x1 - x2 + 3x3 = 0 gegeben.
Ich bräuchte nun einmal eine Parameterdarstellung der Ebene mit Hilfe orthogonaler Richtungsvektoren v1 und v2, dabei soll zur Vereinheitlichung gelten v1= (a,b,c) mit c=0, a>0.
Weiter soll man für beliebige x (element) R³ bestimmen:
- die Orthogonalprojektion Px auf E
- den Abstand x zu E
- den Spiegelpunkt Sx an der Ebene E
Vielen Dank im Vorraus! |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 20:57: |
|
Hallo Martin:
Der Normalenvektor ist N=(2,-1,3)/(Ö14)
Für die Parameterdarstellung brauchst Du nun den Anfangsvektor A. Für diesen gilt: skalar N.A=0, weil in der Gleichung =0 steht.
Die Richtungsvektoren v1 und v2 mit Parameter müssen senkrecht zu N sein, Also N.v1=0 (beachte:c=0,a>0) und C=N x v2 (Kreuzprodukt)
- die Orthogonalprojektion auf E ist:
x -> x-(x.N)*N
-Abstand: In die Hessesche Normalform einsetzen.
-Spiegelpunkt: Sx: x-> x-2*(x.N)*N
Wenn Du noch Probleme hast, melde Dich |
Theo West (Fussläufer)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 09:34: |
|
Hi,
danke erstmal bis hier, ich scheine trotzdem zu blöd zu sein, auf die Parameterform zu kommen, könntest du mir da nochmal helfen? Der Normalenvektor ist soweit klar, wie ich den ablesen kann, aber wie dann weiter?
Vielen Dank! |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 11:09: |
|
Hallo wer auch immer,
Die Normalenform heißt 2x1-x2+3x3=0
Der einfachste Anfangsvektor ist (0 0 0), Du kannst aber jeden beliebigen Vektor nehmen, der die Normalenform erfüllt, z.B v = (1 -1 -1).
Diesen nehmen wir aber als 1. Richtungsvektor.
Der zweite Richtungsvektor w soll orthogonal zu dem 1. sein. Das kann man auf zwei Arten bewerkstelligen:
1) I (2 -1 3).(w1 w2 w3) = 0 (ist nichts anderes als die Normalenform)
II(1 -1 -1).(w1 w2 w3) = 0
ist ein unterbestimmtes Gleichungssystem, es kommen alle Vielfachen des zu (2 -1 3) und
(1 -1 -1) senkrechten Vektors heraus.nimm einfach einen davon.
2) praktischere Methode: Das Kreuzprodukt
(2 -1 3)x(1 -1 -1) ergibt einen erwünschten senkrechten Vektor.Wenn Du das Kreuzprodukt nicht kennst, schau mal ins Online-Mathebuch.
Die Parameterform heißt dann
E: x= a*(1 -1 -1) + b*(w1 w2 w3)
Ich hoffe Du kommst damit klar, wenn nicht, frag nochmal |
Theo West (Fussläufer)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 11:30: |
|
Ah, klasse, damit sollte es hinhauen,
Kreuzprodukt sagt mir was, is nur schon ein Weilchen her.
Vielen Dank, v.a. für das Angebot, mich bei weiteren Fragen nochmal zu melden.
Danke!! |
Theo West (Fussläufer)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 13:21: |
|
Hi,
irgendwie komm ich bei der b) und c) nicht weiter,
ich hab keinen Ansatz. Was schlägst du vor?
Danke |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 15:57: |
|
Was meinst Du mit b) und c), die Orthogonalprojektion und den Abstand? |
Theo West (Fussläufer)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 16:53: |
|
Hi Leo,
ja das meinte ich, sorry.
Vielen Dank für deine Hilfe!!! |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 19:19: |
|
zu c) Die Hessesche Normalform ist extra dafür geschaffen: Der Abstand eines Punktes x=(x1 x2 x3)
beträgt (2x1-x2+3x3)/(Ö14)
b) wie ich oben geschrieben habe gilt:
x wird abgebildet auf x-(x.N)*N
in unserem Fall ist die Projektion
(x1 x2 x3) - (x1 x2 x3).(2 -1 3)/(Ö14)*(2 -1 3)/(Ö14)
z.B. (1 0 0) wir abgebildet auf (1 0 0)- 2/(Ö14)*(2 -1 3)/(Ö14) = (1 0 0)-2/14*(2 -1 3) = (0,714 0,143 -0,429) element E
Versuch Dir die Konstruktion vorzustellen:
Um von x auf die Ebene E zu kommen, gehe ich von Null aus nach x und ziehe dann den Vektor senkrecht zur Ebene ab, der den Betrag 1*Abstand von x zur Ebene hat, also x-(x.N)*N. N ist der normierte (Betrag 1) Normalenvektor und (x.N) ist genau der Abstand von x zu E. |
Theo West (Fussläufer)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 21:47: |
|
Vielen Dank für deine Mühe, du hast mich gerettet... :-) |
|
