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Beitrag |
    
Gundolf Gemser (Gundolf99)
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 20:26: | 
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Hallo!
Ich steh mal wieder auf dem Schlauch 
Ich weiß nicht was ich Bei dieser Aufgabe machen soll:
vorweg:
C = Körper der Komplexen Zahlen
R = Reelle Zahlen
(phi) = Winkel Phi
z = x + i*y
e = "Element von.."
=================================
a)
In welche Kurven gehen unter der Abbildung
z ---> f(z) = 1/z , C{0} ---> C
radiale Strahlen und konzentrische Kreise über?
Welches sind die Fixpunkte von f (f(z) = z)?
Machen Sie eine Skizze mit einer Urbildebene (z-Ebene) und einer Bildebene (w-Ebene).
b)
In welche Kurven gehen unter der Abbildung
z ---> exp(z) = e^x , C ---> C
parallele Geraden zur x-Achse und parallele Geraden zur y-Achse über? Machen Sie eine Skizze wie in a)
Hinweis: Schreiben Sie in a) radiale Strahlen in der Form t*e^(i*(phi)) mit Parameter (phi) e R.
Ich habe bei der Aufgabe wirklich keinen Plan; wäre super nett, wenn ihr weiterhelfen könntet.
CU |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 21:25: |
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Hallo Gundolf, ist das eine Hausaufgabe? |
Gundolf Gemser (Gundolf99)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 21:32: |
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hallo leo!
Ja, allerdings hat unser Mathe-LK Lehrer gemeint, daß wir uns da bis nächste Woche Montag mit Zeit lassen können.
also, wenn du ne Idee hast würde ich mich echt freuen!!
cu |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Januar, 2001 - 18:19: |
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Ich kenn mich da auch nicht so gut aus, aber ich versuche es mal:
Für konzentrische Kreise gilt: |z|=k , k konstant
f(z)=1/z -> |1/z|=k
=> |z|=1/k Das sind wieder Konzentrische Kreise mit Radius 1/k mit den Fixpunkten |z|=1
Radiale Strahlen haben die Funktion: Im(z)/Re(z)=m , m konstant bzw b/a=m
Im(1/z)/Re(1/z)=m würde darauf hinauslaufen:
(-b/(a2+b2))/(a/(a2+b2))=m
=> -b/a=m, das würde bedeuten, die Strahlen würden
an der y-Achse gespiegelt. Die einzige Invarianten wären dann die x- und die y-Achse. Wenn ich wieder Zeit habe und mir wás einfällt, melde ich mich wieder... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 20:22: |
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Hi Gundolf,
Mit den folgenden Ausführungen möchte ich ein wenig
zur Klärung der Angelegenheit beitragen.
Vorbemerkungen zu den Bezeichnungen:
In der z-Ebene gilt:
z = x + i y ,
trig. Schreibweise mit r = abs(z) , alpha = arg(z)
z = r * [cos(alpha) + i * sin(alpha)], Abkürzung:
z = r * cis (alpha)
In der w-Ebene (Bildebene) gilt
w = u + i v
trig.Schreibweise mit R = abs(w), Phi) = arg(w):
w = R* [cos(Phi) + i * sin(Phi) ] ,Abkürzung :
w = R * cis (Phi)
Zum Beispiel 2 : Abbildung w =e ^ z
Es handelt sich bei Deiner Aufgabe 2 um die folgenden beiden
Sätze:
(I)
Bei der durch die Abbildung w = e^z vermittelten Abbildung
entsprechen den Parallelen zur y-Achse x = c (constans) Kreise,
der w-Ebene, deren Koordinatengleichungen lauten:
u^2 + v^2 = e ^(2c).
Anmerkungen
- Bilden die x-Werte der zur y-Achse parallelen Geraden eine
arithmetische Folge, so bilden die Radien der zugehörigen
Kreise in der (u,v)-Ebene eine geometrische Folge
- Der imaginären Achse (y-Achse x=0) in der z- Ebene
entspricht der Einheitskreis u^2 + v^2 =1 der w-Ebene.
(II)
Den Parallelen zur x -Achse mit der Gleichung y = c (constans)
der z-Ebene entsprechen Ursprungsgeraden in der w-Ebene,
deren Gleichungen lauten:
u * sin c - v * cos c = 0
Anmerkung
Diese Bildgeraden bilden gleiche Winkel miteinander,
wenn jene parallelen Geraden äquidistant sind,
d.h. gleiche Abstände haben
Herleitung
Vorbereitiung:
W = u + i v = e ^ z = e ^ ( x + i y ) = e^x * e ^ (i y)
Wir lesen ganz rechts Betrag und Argument von w ab:
Betrag R = e ^ x und Argument Phi = y, (BRAVO !)
Zu (I):
Aus x = c (const) folgt R = e ^ c = C ,ebenfalls eine Konstante,
d.h. die Bildkurve ist ein Kreis vom Radius e^c
Zu (II)
Aus y = d(konstant) folgt Phi = d (konstant),das ist das
Kennzeichen einer Ursprungsgeraden in der w-Ebene.
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Auf Wunsch kann ich Dir auch zum ersten Beispiel w = 1 / z
einige Tips geben., sofern noch Bedarf besteht.
Inzwischen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Gundolf Gemser (Gundolf99)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Januar, 2001 - 02:02: |
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Hallo H.R.Moser,megamath (puh langer Name ;) )
hm, wenn du es einrichten könntest würde ich mich über eine Erläuterung zu w = 1 / z sehr freuen.
Indes werde ich ich versuchen mit den Tips die Aufgabe anzugehen!
Also auf Bald,
Grüße Gundolf |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Januar, 2001 - 15:58: |
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Hi Gundolf,
Für die Beantwortung Deiner Fragen zur Abbildung
w = 1 / z verwende ich dieselben Bezeichnungen wie
neulich bei der Abbildung w = e^z .
In der z-Ebene gilt:
z = x + i y ,
trig. Schreibweise mit r = abs(z) , alpha = arg(z)
z = r * [cos(alpha) + i * sin(alpha)], Abkürzung:
z = r * cis (alpha)
In der w-Ebene (Bildebene) gilt
w = u + i v
trig.Schreibweise mit R = abs(w), Phi) = arg(w):
w = R* [cos (Phi) + i * sin(Phi) ] ,Abkürzung :
w = R * cis (Phi).
Wir schreiben die Abbildungsgleichung w = 1/z mittels
Koordinaten : u = u(x,y), v=v(x,y):
w = 1 / z = 1 / (x + iy) ; den Bruch erweitern wir mit der
zu z = x + iy konjugiert komplexen Zahl x - iy ,
damit der Nenner reell wird; es entsteht :
w = u + i v = ( x - i y ) / ( x ^ 2 + y ^ 2 )
= x / ( x ^ 2 + y ^ 2 ) - i y / ( x ^ 2 + y ^ 2 )
Nun trennen wir Real und Imaginärteil. und erhalten
die Abbildungsgleichungen in reeller Schreibweise;
u = 1 / (x ^ 2 + y ^ 2 ) * x , v = - 1 / ( x ^2 + y ^2 ) * y...(I)
Die Gleichungen x= x(u,v) , y = y(u,v) der Umkehrabbildung
sehen gleich aus , nämlich:
x = 1 / (u ^ 2 + v ^ 2 ) * u , y = - 1 / ( u ^ 2 + v ^ 2 ) * v......(II)
Dies lässt sich leicht bestätigen .
Für Kenner: die Abbildung w = f(z) ist involutorich, d.h.
f(f(z)) ist die Identität; daher gewinnt man (II) aus (I) durch
Vertauschung von x mit u und y mit v und umgekehrt.
Was passiert nun bei der Abbildung von Ursprungsgeraden
einerseits und konzentrischen Kreisen um O andrerseits ?
a) In der z-Ebene liegen die Ursprungsgerade y = mx vor
Mit den Abbildungsgleichungen (I) erhalten wir:
u = 1 / [x ^2 + m^2 * x^2] * x , v = -1 / [x^2 + m^2*x^2] * y
Der Quotient v / u gibt sich schlicht und einfach ,nämlich:
v / u = - m ; diese Gleichung stellt in der w-Ebene ebenfalls
eine Ursprungsgerade dar; die Steigung ist zur Steigung der
gegebenen Geraden entgegengesetzt.
b) In der z-Ebene sei ein Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r
gegeben : x ^ 2 + y ^ 2 = r^ 2.
Bei der Abbildung wird daraus mit (II):
[ u ^ 2 + v ^ 2 ] / { [ u ^ 2 + v ^ 2 ] ^ 2 } = r ^ 2 , also
u ^2 + v ^2 = 1 / r ^ 2 ; dies stellt in der w- Ebene
ebenfalls einen Kreis dar, dessen Radius R zu r reziprok ist :
es gilt R = 1 / r
Vordergründig sind nun beide Aufgaben gelöst; sie haben beide ihre Hintergründe ,
auf welche ich,
wenn es meine Freizeit zulässt ,später
zu sprechen komme.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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