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Herbert Smetaczek (Marioza)
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 10:06: | 
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Hilfe!!!
Ich soll folgenden Satz beweisen und kenn mich überhaupt nicht aus. Wer kann mir bitte weiterhelfen. Wenn möglich mit Zwischenschritten und Erklärungen. Danke.
Satz: Sei p(x) EIN Polynom vom Grad n und a (=Alpha) eine Nullstelle von p(x), dann geht die Division p(x) : (x-a) ohne Rest auf. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 16:28: |
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Hi Herbert,
Deine schöne Aufgabe darf nicht ungelöst in der
Versenkung verschwinden !
Die Lösung ist von frappierender Einfachheit,
vorausgesetzt man findet den Königsweg.
Ich führe Dir zunächst die Lösung für die Fälle n = 2
und n = 3 vor, anschliessend skizziere ich den allgemeinen Fall.
1.Fall: n = 2
Das Polynom lautet: p(x) = a x^2 + b x + c ; u sei eine Nullstelle.
Es gilt daher p(u) = 0.
Wir können somit p(x) so darstellen:
p(x) = a x^2 + b x + c - [ a u ^ 2 + b u + c]
N.B. die eckige Klammer ist null !
Wir formen um:
p(x) = a* ( x ^ 2 - u ^ 2 ) + b* (x - u) ;wir klammern (x- u) aus :
p(x) = ( x - u ) * [ (x + u) + b ] ; in dieser Form erkennt man
die Teilbarkeit des Polynoms durch den Linearfaktor x - u.
2.Fall: n = 3
p(x) = a x ^ 3 + b x ^ 2 + c x + d ; ..........................................(I)
mit u als Nullstelle kommt:
0 = a u ^3 + b u ^ 2 + c u + d ...........................................(2)
Wir bilden die Differenz der Gleichungen (1) und (2)
p(x) = a * (x ^ 3 - u ^ 3) + b* (x ^ 2 - u ^ 2) + c * ( x - u )
Wiederum können wir ( x - u ) ausklammern:
p (x) = ( x - u ) * [a*{x^2 + u*x + u^2} + b{x + u} + c ] ;
damit ist gezeigt, dass auch das Polynom dritten Grades durch
den "Wurzelfaktor" ( x - u ) teilbar ist.
3.Allgemeiner Fall
Wir rufen eine Formel der elementaren Algebra in Erinnerung,
welche in der Regel beim Thema "endliche geometrische Reihen"
hergeleitet wird
Sie lautet in einer Schreibweise ohne Summenzeichen.:
x^n - u^n= (x-u)*[ x^(n-1) + u x^(n-2) + u^2 x ^(n - 3)+.... +
....................+ u^(n-3) x ^ 2+ u ^ ( n - 2 ) x + u ^(n-1)]..............(3)
Als Abkürzung für den Inhalt der eckigen Klammer soll
S (n-1) verwendet werden (n = 2.3....)
Diese Formel werden wir bei der Herleitung Deines Satzes
gebrauchen.
Gegeben sei das Polynom n-ten Grades
p(x) = an * x ^ n + a(n-1) * x^(n-1) ....+ a1* x + ao
u sei eine Nullstelle , somit gilt p(u) = 0
Wir schreiben wiederum die beiden zu (1) und (2)
analogen Gleichungen an und erhalten für die Differenz
p(x) - p(u) = p(x) - 0 = p(x) einen Term ,
bei welchem wir (x - u) ausklammern können,
womit die Teilbarkeit nachgewiesen ist.
Das Resultat lautet:
p(x) = (x- u)*[an * S(n-1) +...........+ a2*S1 + a1],
ao hat sich weggehoben.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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