| Autor |
Beitrag |
    
Nadja (Maus1)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 14:10: | 
|
Kann mir bitte jemand erklären, wie ich Rotationskörper berechne und wie ich überhaupt auf die Formel komme. Ich verzweifle und schreibe am Mittwoch eine Kursarbeit! |
Maus1 (Maus1)
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 15:05: |
|
Ich bins noch mal! Ich brauche wirklich Unterstützung! Wie komme ich z.B. auf die Formel für einen Kegelstumpf? Angegeben ist die Höhe:h, der Radius r1, der auf der y-Achse liegt und der Radius r2, eine Parallele zur y-Achse. Wie bestimme ich das Volumen? Ich kenne zwar die Integralform, aber ich komme nicht auf die zugehörige Funktion.
Noch schlechter sieht es bei der Formel für eine Ellipse aus, mit der Breite a und der Höhe b. Angegeben ist die Gleichung (x^2)/(a^2)+(y^2)/b^2)=1. Muss ich dann einfach die Gleichung nach y^2 (bzw. y)auflösen und das Ergebnis dann in die Integralformel für das Volumen eines Rotationskörper einsetzten? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 21:03: |
|
Hi Maus 1 ,
1.Volumen eines Rotationskegelstumpfes
Die Rotation der Strecke P1 P2 mit P1 (0 / r1), P2( h / r2)
um die x-Achse ergibt einen Kegelstumpf, dessen Volumen V
zu berechnen ist .
Die Konstanten r1, r2 sind die Radien von Grund- und Deckkreis,
h ist die Höhe des Stumpfes.
Die Gleichung der Geraden P1 P2 lautet y = m x + r1,
wobei die Steigung m der Geraden leicht zu bestimmen ist,
jedoch erst später in die Volumenformel eingesetzt wird;
es gilt:
m = (r2 - r1) / h
Der y-Wert aus der Geradengleichung wird quadriert:
y^2 = m^2 * x^2 + 2 m * r1 * x + r1^2 und in die bekannte
Integralformel für das Volumen eines Rotationskörpers
Eingesetzt ;wir erhalten:
V = Pi * int [(m^2* x^2 + 2 m* r1 * x + r1 ^2 ) * dx ],
untere Grenze 0 , obere Grenze h; weiter:
V = Pi* [ m^2 * x^3 / 3 + 2 m* r1* x^2 /2 + r1^2 * x ],
in den genannten Grenzen; somit
V = Pi * h / 3 * [m^2 * h^2 + 3 m* r1* h + 3 r1^2 ]
Jetzt setzen wir den oben genannten Wert für m ein.
Es kommt wie es kommen muss:
V = Pi*h/3*[r2^2-2*r1*r2+ r1^2+3*r1*r 2-3 r1^2+3r1^2]=
= Pi * h / 3 * [ r1 ^2 + r1 * r2 + r2 ^2 ].
Fortsetzung folgt alsogleich !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 21:21: |
|
Hi Maus 1
Nun berechnen wir das Volumen des Rotationsellipsoides
(Rotation um die x-Achse)
Wir lösen die Ellipsengleichung nach y^2 auf und setzen
den Term in das Integral für das Volumen ein
Mit
y ^2 = b^2 / a^2 * ( a^2 - x^2 )
kommt für das halbe Volumen:
½ * V = Pi * int [ (b^2 / a^2 * (a^2 - x^2)) * dx ]
( untere Grenze 0 , obere Grenze a ), somit:
V = 2 * Pi * b^2 / a^2 * [a^2 * x - 1/3 * a^3]
mit denselben Grenzen
Schlussresultat:
V = 4 / 3 * P i * a * b ^2.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Maus1 (Maus1)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 13:52: |
|
Vielen Dank! Jetzt habe ich das endlich verstanden. Ich hoffe morgen in der Arbeit kommt der Rotationsellipsoid, denn kann ich dann ja schon :-) |
Maus1 (Maus1)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 13:56: |
|
Vielen Dank! Jetzt habe ich das endlich verstanden. Hoffentlich kommt morgen in der Arbeit der Rotationsellipsoid, den kann ich dann ja schon :-) |
|
