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Beitrag |
    
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 13:54: | 
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Hallo zusammen !
Wie kann man das Volumen eines Polyeders berechnen, dessen 4 Eckpunkte bestimmt sind ?
z.B. A (0|0|1), B (2|3|1), C (6|8|4), D(1|7|7)
(Dieses Beispiel stammt von mir)
Gruss, Pascal |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 19:07: |
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Hallo Pascal,
ein Polyeder mit 4 Ecken ist ein Pyramide.
Das Volumen eine Pyramide ist G * h/3.
Ausgehend von Deinen Punktkoordinaten muß Du also die Grundfläche (des Dreiecks aus 3 der 4 Punkte) und die Höhe, also den senkrechten Abstand des vierten Punktes von der durch die ersten 3 Punkte aufgespannten Ebene berechnen.
Zur Dreiecksfläche. Betrachte das Dreick ABC.
Von A nach B führt der Vektor (B-A) und von A nach C der Verktor (C-A).
Die Fläche ist 1/2 * |(B-A)x(C-A)| (x das Vektorprodukt, |... | ist der Betrag des Vektors).
Um die Höhe zu finden: Der Vektor (B-A)x(C-A) steht senkrecht auf der Dreiecksfläche. Nehmen wir diesen Vektor als Richtungsvektor und bestimmen den senkrechten Abstand von D zu ABC indem wir den Schnittpunkt der Geraden 0D + l (B-A)x(C-A) mit der Ebene, die von (B-A) und (C-A) aufgespannt wird, berechnen. Der Abstand des Schnittpunkts von D ist die Länge der Höhe.
Gruß
Matroid |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 21:09: |
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Hallo Pascal,
Wenn du wenig Wert auf die Erforschung der Innereien der Pyramide legst, so kannst du wie folgt rechnen:
Zu jedem Punkt eine 1 als 4.Koordinate anhängen und dann eine Matrix mit diesen erweiterten koordinaten als Zeilen schreiben.
Das Volumen ist dann (1/6)*Determinante dieser Matrix.
Unser Beispiel:
0 0 1 1
2 3 1 1
6 8 4 1
1 7 7 1
Die Determinante aus dieser Matrix ist: 45
Volumen also: 15/2
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Etwas anspruchsvollere Methode:
Von jedem Eckpunkt gehen 3 Kanten aus.
Wir bilden die Kantenvektoren, die von einem Eckpunkt ausgehen:
a, b, c.
Dann ist das Volumen (1/6)*Spatprodukt von a,b,c
Spatprodukt= a.(b x c)
Dies kann man wieder als (diesmal 3-reihige) Determinante rechnen:
|a1 a2 a3|
Volumen = (1/6)* |b1 b2 b3|
|c1 c2 c3|
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Alle Determinanten natürlich positiv nehmen!
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