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Beitrag |
    
Johanna
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 20:48: | 
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Hi,hab ein Problem mit folgender Aufgabe,tue mich dauernd verrechnen!!!!
Es sei P3={f/f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3; ak,x E R} der Vektorraum aller Polynome höchstens 3. Grades mit der üblichen Addition und S-Multiplikation für Polynome.
gegeben:
a)
f1(x)=1+x+x^2+x^3
f2(x)=4+x^3
f3(x)=1-3x^2
f4(x)=3-7x^3
b) Aus den in a) gegebenen Polynomen werden folgende Linearkombinationen gebildet:
f5=f1+f3
f6=3*f3-3*t*f4 ,t E R
f7=t*f1-f2 ,t E R
f8=f1+f2+f3+f4
Für welche t E R bilden f5,f6,f7 und f8 für eine Basis des P3??
Schon mal vielen Dank im voraus.. |
Carsten
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 22:07: |
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In welchem Bundesland macht man denn solche abartigen Aufgaben???
mfG Carsten |
Johanna
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 15:56: |
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In Baden-Württemberg.... Es soll anscheinend t E R\(1,-1) rauskommen ,schön dass ich nicht die einzige bin ,die die Aufgabe so grausam findet.. Dass heißt wohl dass du mir nicht weiter helfen kannst,oder???? |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 17:41: |
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Hallo Johanna,
Dem Vektorraum P³ der Polynome von Grad <=3 entspricht der Vektorraum R4. Man nennt dies einen Isomorphismus.
Im R4 haben wir also die Vektoren:
f1=(1,1,1,1)
f2=(4,0,0,1)
f3=(1,0,-1,0)
f4=(3,0,0,-7)
und
f5=f1+f3= (2,1,0,1)
f6=3f3-3f4= (3,0,-3,0)+t(9,0,0,-21)
f7=f2+t*f1= (-4,0,0,-1)+t(1,1,1,1)
f8=f1+f2+f3+f4)= (9,1,0,-5)
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Um zu entscheiden ob die Vektoren f5,f6,f7,f8 eine Basis für R4 sind, müssen wir teszen ob sie linear unabhängig sind.
Wir bilden dazu die Matrix (mit den fi als Spalten):
2 3+9t -4+t 9 1 0 0 0
1 0 t 1 dies reduziert mit Gauss: 0 1 0 0
0 -3 t 0 0 0 1 0
1 -21t -1+t -5 0 0 0 1
Also sind die 4 Vektoren linear unabhängig und zwar für alle t (aus R).
Demensprechend sind auch die Polynome f5,f6,f7,f8 linear unabhängig und bilden eine Basis für P³.
(Anmerkung: eigentlich müsste man die Polynome fi und die Vektoren im R4 mit verschiedenen Buchstaben bezeichnen. Ich habe, etwas nachlässig, alles mit fi bezeichnet).
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Das Ergebnis stimmt nicht mit deiner Lösung überein. Also liegt irgendwo noch ein Fehler, entweder in der Angabe oder in meiner Rechnung. |
Johanna
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 17:59: |
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Danke, hab schon gedacht,dass mir keiner helfen kann.... Ciao |
Johanna
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 18:21: |
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Hab den Fehler gefunden!f3=(1,0,-3,0) und nicht (1,0,-1,0)! Hast dich wahrscheinlich verguckt!!
Ach ja mit welchem Programm hast du das ausgerechnet??? |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 09:36: |
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Hallo Johanna,
Du hast Recht: f3=(1,0,-3,0)
Dann ist auch für t=1 und t=-1 f5,f6,f7,f8 keine Basis, weil
für t=-1: f8=(1/3)f6-f7
für t=1: f8=2f5-(1/3)f6-f7
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Die Knochenarbeit des Matrix-Reduzierens mache ich mit dem Maple6 Programm. |
Johanna
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 11:32: |
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Hi!Ja,habs mittler Weile auch rausbekommen. Besser gesagt,hab mir vorher die Lösung vom Lehrer geholt.... Also dann vielen Dank nochmal für deine Hilfe!!! *Tschüß* |
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