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Conny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 10:02: | 
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Die Parabel y²=2x wird von der Geraden x-y=4 geschnitten. Die sehne ist Durchmesser eines Kreises. Wie lautet die Gleichung des Kreises und unter welchen Winkeln schneidet er die Parabel?
Bitte kann mir das wer erläutern?
Ich durchschau das Beispiel nicht!
Ist wichtig!
Danke ! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 14:39: |
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Hi Conny,
Die gegebene Gerade schneidet die Parabel
in den Punkten A und B
Wir berechnen die Koordinaten dieser Punkte
wie folgt:
Gleichsetzung der Werte für y^2 führt auf
eine quadratische Gleichung, deren Lösungen
x1 und x2 die x-Koordinaten der Punkte
A und B sind.
Ausführung:
(y^2=) 2 x = (x - 4 ) ^2
x^2 - 10x + 16 = 0 , daraus x1 = 8 , x2 = 2
mit y = x - 4 folgt aus x1 der zugehörige Wert y1 = 4,
aus x2 = 2 der y -Wert y2 = - 2
Die Schnittpunkte sind : A( 8 / 4 ), B ( 2 / - 2 ) .
Die Strecke AB ist ein Durchmesser des gesuchten
Kreises, ihr Mittelpunkt M der Mittelpunkt des Kreises.
Die x-Koordinate xM von M ist das arithmetische
Mittel der x-Koordinaten von A und B , also:
xM = ½ * ( 8+2 ) = 5, entsprechendes gilt für die
y-Koordinaten:
yM = ½ * ( 4 - 2 ) = 1
Der Radius r des Kreises stimmt mit der Länge der
Strecke MA überein; es gilt:
r ^ 2 = (8-5)^2+(4-1)^2 = 18,: r = 3* wurzel(2)
Gleichung des Kreises:
( x - 5 ) ^ 2 + ( y -1 ) ^ 2 = 18 , oder ohne Klammern:
x ^ 2 + y ^ 2 -10 x - 2 y + 8 = 0.
Der Schnittwinkel phi von Kreis und Parabel ist
der Winkel der Tangenten u und v im Schnittpunkt A
(oder B) der beiden Kurven
Steigung der Kreistangente u in A;
Da u senkrecht auf der Durchmessergeraden AB steht,
gilt m1 = - 1 .
Um die Steigung m2 der Parabeltangente in A zu
bekommen, leiten wir die Parabelgleichung nach x ab
und setzen in der Ableitung für x den x-Wert 8
von A ein.
Ausführung:
Aus y^2 = 2x folgt y = wurzel (2*x) ;
(wir nehmen die positive Bestimmung); es folgt:
y ' = 2 / [2*wurzel(2*x)] = 1 / 4 = m2
Aus den Steigungen der Geraden u und v ermitteln wir
deren Richtungswinkel alpha (für u ) und beta ( für v ).
aus tan (alpha) = m1 = - 1 folgt alpha = 135° ,
aus tan (beta) = m2 = ¼ folgt beta = 14.04°
Der gesuchte Schnittwinkel phi wird daraus wie folgt
Berechnet:
phi = alpha - beta = 120,96°; ergänzt man diesen
Winkel auf 180°,so erhält man den spitzen Schnittwinkel
phi`= 59.04°.
Welchen Winkel man wählt, ist Geschmacksache.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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