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Beitrag |
    
Bernie
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 17:46: | 
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Die Ellipse 16x²+25y²=800 soll im Punkt P(x>0/4) von Kreisen mit r²=41 berührt werden. Bestimme die Gleichungen dieser Kreise!
Kann mir bitte wer weiterhelfen mit diesem beispiel?
Danke!! |
Marc
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 23:09: |
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Was heißt im Punkt P(x>0/4) ?
Das x>0 macht in meinen Augen keinen Sinn.
Bitte näher erläutern, ob es vielleicht ein Tippfehler ist.
Marc |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 09:13: |
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Hallo Marc,
P(x>0/4) bedeutet:
der Ellipsenpunkt P hat die y-Koordinate = 4
und eine positive x-Koordinate.
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Bernie
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 12:26: |
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Und wie geht der rest???? |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 17:59: |
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Hallo Bernie,
Lautet die Frage wirklich so?
Es gibt meiner Ansicht nach nur einen einzigen Kreis, der die obigen Bedingungen erfüllt! |
Bernie
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 09:46: |
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Also als Lösung hab ich angegeben:
M1=(9/9)
M2=(1/-1)
Kann du mir bitte zeigen wie ich die eine Kreisgleichung aufstelle!
BITTE |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 10:42: |
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Hallo Bernie,
Deine Lösung ist nur teilweise richtig!
Es existiert nur ein Kreis!
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Auf Normalformgebracht, lautet unsere Ellipsengleichung:
x²/50+y²/32=1
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Wir bestimmen den Punkt P: (y=4)
x²/50+16/32=1
x=5
P= (5;4)
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Wir differenzieren die Ellipsengleichung:
(Gutes Beispiel um die implizite Differenziation zu üben!)
2x/50 + 2yy'/32 =0
daraus y'= -(32/50)*x/y
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Im Punkte P ist y': y'P=-(32/50)(5/4)= -4/5
Dies ist die Steigung der Tangente.
Die Mittelpunkte der gesuchten Kreise liegen auf einer Geraden gr durch P, die senkrecht zur Tangente steht, also die Steigung 5/4 hat.
gr: y-4=(5/4)(x-5)
y=(5/4)x-9/4......Gleichung von gr
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Kreismittelpunkt M (wir nennen seine Koordinaten a un b) muss folgenden zwei Bedingungen genügen:
1) Liegt auf gr
2) Hat Abstand von P: = W(41)
also:
W[(a-5)²+(b-4)²] = W(41)
(5/4)a-9/4 = b
=============
Aus diesen beiden Gleichungen ergeben sich zwei Lösungen für a und b:
a=1 und b=-1
a=9 und b=9
==========
Dazu gehören die Kreisgleichungen:
K1: (x-1)²+(y+1)²=41
K2: (x-9)²+(y-9)²=41
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Nur der Kreis K2 "berührt" die Ellipse,
Kreis K1 schneidet die Ellipse!
Um dies zu zeigen, muss man noch zusätzlich zeigen, dass die Krümmung der Ellipse im Punkt P kleiner als der Kreisradius ist.
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