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Babs
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 13:38: | 
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Es sind Gleichung jener tangenten an die Ellipse 3x²+4y²=16 aufzustellen die zur Geraden g:2y+3x=4 parallel bzw.normal verlaufen!
Bitte helft mir weiter!ihr seid meine letzte Hoffnung!
Ich weiss nicht wie ich das Beispiel anfangen soll!
Danke schon mal! |
IQzero
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 20:26: |
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Hi Babs!
Die Tangente einer Ellipse der Form x²/a² + y²/b² = 1 im Punkt (x1|y1) heisst: (x1 x)/a² + (y1 y)/b² = 1
Deine Ellipse lautet:
e: 3x² + 4y² = 16
=> x²/(16/3) + y²/4 = 1
Die Tangenten im Berührpunkt B (xb | yb) lauten nach der Formel oben:
t: (xb x)/(16/3) + (yb y)/4 = 1
=> y = (-3/4 xb/yb)*x + 4/yb
Deine Gerade heisst:
g: 2y + 3x = 4
=> y = -3/2 x + 2
Da die Tangente parallel zur Geraden verlaufen soll, müssen die Steigungen von t und g identisch sein:
-3/4 xb/yb = -3/2
=> 2 yb = xb
Da der Berührpunkt auf der Ellipse liegen soll setzt man den Zusammenhang für x in die Ellipse ein:
3(2y)² + 4y² = 16
=> 16y² = 16
=> y1 = 1 ; y2 = -1
wegen xb = 2yb
=> x1 = 2 ; x2 = -2
B1 (2 | 1) ; B2 (-2 | -1) sind also die Berührpunkte.
Jetzt fehlen nur noch die y-Achsenabschnitte der Tangenten. Die erhält man, indem man den x und y-wert der Berührpunkte und die Steigung in die allgemeine Geradengleichung y = mx + n einsetzt.
1. Tangente:
1 = -3/2 * 2 + n1
=> n1 = 4
t1: y = -3/2 x + 4
2. Tangente:
-1 = -3/2 * -2 + n2
=> n2 = -4
t2: y = -3/2 x - 4
Um die Tangenten der Ellipse zu finden, die normal zu g verlaufen musst Du nur fordern, dass die Steigung nicht mehr -3/2 sondern jetzt +2/3 beträgt. Denn zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ist. Der Rest geht genauso.
Wenn Du die Aufgabe nicht mit der Tangentenformel für die Ellipse rechnen darfst oder möchtest, dann geht das auch mit den Methoden der Analysis. Dazu machst Du aus dem (oberen) Bogen der Ellipse eine Funktion:
f(x) = Ö(-3/4 x² + 4)
Du bekommst die Berührstellen, indem Du forderst, dass die Ableitung -3/2 sein muss.
f'(x) = (-3/4 x) / Ö(-3/4 x² + 4)
-3/2 = (-3/4 x) / Ö(-3/4 x² + 4)
=> x² = 4
=> x = 2 v x = -2
Genaugenommen ist aber jetzt nur x = +2 die richtige Lösung. Beim Quadrieren der Wurzelgleichung ist -2 als Lösung dazugekommen. Die Probe klappt nur für +2. Das liegt daran, dass f(x) nur den oberen Bogen beschreibt. Man müsste also die gleiche Rechnung noch eimmal für den unteren Bogen durchführen und erhält dann x = -2 (mit passender Probe). |
Babs
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 10:26: |
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Also ich hab folgende Frage
f(x)= wurzel(-3/4 x²+ 4)
f`(x)=(-3/4x)/wurzel(-3/4x²+4)
also was ich nicht verstehe ist
oben leite ich ja x² ab muss dann nicht stehen -6/4 x ??? |
IQzero
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 16:07: |
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Hi Babs!
f(x) = Ö(-3/4 x²+ 4) muss man mit Kettenregel ableiten. Die Ableitung der Wurzel ist: 1 / 2Öx
Wenn man es ausführlich rechnet, dann erhält man:
f'(x) = 1 / 2Ö(-3/4 x²+ 4) * (-6/4 x)
=> f'(x) = (-3/4 x) / Ö(-3/4 x²+ 4)
d.h. es kommen wieder -3/4 heraus, weil ich die -6/4 durch die 2 von der Ableitung der Wurzel geteilt habe. |
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