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Conny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 13:06: | 
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HILFE!
Die Ellipse x²+5y²=5 wird im Schnittpunkt P (1 Quadrant) mit der Geraden x=y+1 von einem kreis rechtwínkelig geschnitten.Der mittelpunkt des Kreises liegt auf der Geraden x+y=1.
Wie lautet die Gleichung dieses Kreises?
Also es wäre total nett von euch wenn ich mir hier helfen würdet!Hab keine Ahnung wo ich hier anfangen soll!
Danke |
IQzero
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 15:37: |
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Hi Conny!
Ellipse e: x² + 5y² = 5
Gerade g: x = y + 1
g in e liefert Schnittpunkt P:
(y+1)² + 5y² = 5
=> 6y² +2y -4 =0
=> y = 2/3 v y = -1
y = 2/3 ist der interessante Wert, da P im 1.Quadranten liegen soll.
y in g liefert x:
x = 2/3 + 1
x = 5/3
P (5/3 | 2/3)
Der gesuchte Kreis soll die Ellipse rechtwinklig in P schneiden. Daher muss der Mittelpunkt des Kreises auf der Tangenten der Ellipse in P liegen.
Die Tangente einer Ellipse der Form x²/a² + y²/b² = 1 im Punkt (x1|y1) heisst: (x1 x)/a² + (y1 y)/b² = 1
In unserem Fall ergibt sich:
e: x² + 5y² = 5
e: x²/5 +y²/1 = 1
P in die Tangentenformel:
t: (5/3 x)/5 + (2/3 y)/1 = 1
t: 1/3 x + 2/3 y = 1
t: y = -1/2 x + 3/2
Da der Mittelpunkt zusätzlich auch auf der Geraden h: x + y = 1 liegen soll kann man M nun errechnen indem man h und t schneidet.
t in h liefert:
x -1/2 x + 3/2 = 1
=> x = -1
x in t liefert y:
y = -1/2 * (-1) + 3/2
y = 2
Also heisst der Mittlepunkt M (-1 | 2)
Fehlt nur noch der Radius des gesuchten Kreises. r ist der Abstand der Punkte P und M. Dieser lässt sich mit Pythagoras errechnen.
r² = (-1 - 5/3)² + (2 - 2/3)²
=> r² = 80/9
Jetzt kann man die Kreisgleichung angeben k: (x - mx)² + (y - my)² = r²
k: (x+1)² + (y-2)² = 80/9
P.S.: Falls Du die Tangentenformel der Ellipse nicht kennst dann kannst Du die Tangentensteigung auch bestimmen, indem Du den oberen Parabelbogen ableitest und den x-Wert von P in die Ableitung einsetzt.
Konntest Du übrigens die andere ABI-Aufgebe nachvollziehen? |
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