| Autor |
Beitrag |
    
Uwe Müller (Signer)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 13:00: | 
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Hi
Gegeben sei der Unterraum U = {(1;0;1;0) (0;1;0;1)} Teilmenge von R^4 und der Punkt A = (1;2;3;4).
1.1. Berechnen sie den Lotraum von U.
1.2. Geben Sie den Fußpunkt F des Lotes von A auf U an.
1.3. Für den Vektor a = (1;2;2;1) berechne man die Projektion p(a;U) von a auf U.
1.4. Welchen Abstand hat A von U ? |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 10:37: |
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Hallo Uwe,
Ich nenne den orthogonalen Unterraum von U: Up
Wir bilden die Matrix M und lösen Mx=0:
1 0 1 0
0 1 0 1 ist bereits in reduzierter Form:
Zwei freie Variable r und s.
Für r=1 und z=0
x1=-1 x2=0 x3=1 x4=0
Für r=0 und s=1
x1=0 x2=-1 x3=0 x4=1
Up wird aufgespannt durch: [(-1;0;1;0) (0;-1;0;1)]
(Beachte: dim U=2, dim Up=2 zusammen dim R4=4)
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Wir zerlegen den Vektor A=(1;2;3;4) in Komponenten:
1 0 -1 0 1 1 0 0 0 2
0 1 0 -1 -1 reduzieren: 0 1 0 0 3
1 0 1 0 3 0 0 1 0 1
0 1 0 1 4 0 0 0 1 1
A kann also geschrieben werden:
A= 2(1;0;1;0) + 3(0;1;0;1) + 1(-1;0;1;0) + 1(0;-1;0;1)
Die beiden blauen Terme sind die Projektion von A auf U
Die beiden roten Terme sind die Projektion von A auf Up
Fußpunkt von A auf U ist also: F=(2;3;2;3)
Fußpunkt von A auf Up ist: Fp=(-1;-1;1;1)
Abstand von A nach U:
A-F = (1;2;3;4)-(2;3;2;3) = (-1;-1;1;1)
d = W(1+1+1+1)= 2
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Nicht gefragt:
Abstand von A nach Up:
A-Fp= (2;3;2;3)
dp = W(26)
Länge von A: nach Pythagoras: W(2²+26)= W(30)
Länge von A: nach Komponenten: W(1²+2²+3²+4²) = W(30)
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Aufgabe 1.3. für den Vektor a, genauso rechnen.
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