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Barbara
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 12:53: | 
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Also mit folgenden Beispiel hab ich ein Problem:
Wie lautet die Gleichung der Tangente an die Ellipse (im Punkt P)?
x²+2y²=33 P=(1/y>0)
Bitte erklärt mir diese Beispiel!!
Wie kann ich diese Form der Ellipse in eine andere Form umschreiben??
danke!! |
any
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 15:23: |
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Nach y umstellen und dann die erste Ableitung bilden, wobei y als f(x) betrachtet wird. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 20:04: |
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Hi Barbara,
Meistens werden Tangenten für Ellipsen (und Hyperbeln)
nicht mittels der Differentialrechnung ermittelt.
In der analytischen Geometrie werden Tangentengleichungen
auf einem anderen Wege
(zum Beispiel mit Hilfe der affinen Abbildung) hergeleitet,
insbesondere für die einfachen Lagen einer Ellipse.
So gehört zur Ellipse
b ^ 2 * x ^ 2 + a ^ 2 * y ^ 2 = a ^ 2 * b ^ 2
die Gleichung der Tangente t
(ersetze x^2 durch x1*x und y^2 durch y1*y)
b ^ 2 * x1 * x + a ^ 2 * y1 * y = a ^ 2 * b ^ 2,
wobei P1 ( x1 / y1 ) der Berührungspunkt der Tangente t ist
Diese einfache Methode sollte man lernen und sich zu eigen
machen
Anwendung auf Dein Beispiel:
Zu x1 = 1 gehört y1 = 4 , wie man durch Einsetzen
des x-Wertes 1 in die Ellipsengleichung findet ;
der Berührpunkt ist also P1(1/4).
Die allgemeine Gleichung der Tangente der gegebenen Ellipse
lautet:
x1 * x + 2 * y1 * y = 33; Werte x1=1, y1 = 4 eingesetzt
liefert die gesuchte Tangentengleichung :
x + 8 y = 33
Um die Halbachsen a und b zu erkennen, dividieren wir die
Gleichung der Ellipse mit 33 (die rechte Seite soll 1 werden),
und wir schreiben:
x ^ 2 / 33 + y ^ 2 / (33/2) = 1
die Halbachse a bezüglich der x-Achse ist a = wurzel(33),
die Halbachse b bezüglich der y-Achse ist b = wurzel(33/2)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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