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Beitrag |
    
Janoschine
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 12:39: | 
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Hi Hasis!Ich schon wieder!Stell jetzt vorerst meine letzte Frage!*g*Bin nämlich nich ganz bescheuert!
Aufgabe:Die quadratische Pyramide mit den Ecken A(-3/-3/0);B(3/-3/0);C(3/3/0);D(-3/3/0) und der Spitze S(0/0/9) wird von der Ebene E:y+4z=10 in einer Trapezfläche geschnitten.
1:Bestimmen sie den Flächeninhalt des Trapezes!
2:Bestimmen sie das Volumen der Teilkörper,in welche die Pyramide durch E zerlegt wird!
Die Durchstoßpunkte der Kanten durch die Ebene habe ich errechnet:D1(-2/-2/3);D2(2/-2/3);D3(26/11;26/11;21/11);D4(-26/11;26/11;21/11)
Ich freue mich über jeden Hinweis! |
gofal
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 19:03: |
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Hi!
1:
Wie du weißt, hat das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) folgende Eigenschaft: Die Norm des Kreuzprodukts ist gleich der Fläche des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
Oder anders: Um die Dreiecksfläche zwischen zwei Vektoren zu berechnen, bildet man den Betrag des Kreuzproduktes und halbiert ihn.
So berechnes du den Flächeninhalt des Trapezes (ein Trapez besteht aus zwei Dreiecken)
D1D2=(4;0;0); D2D3=(4/11;48/11);-12/11)
D1D2xD2D3 = (0;48/11;192/11)
|D1D2xD2D3|/2=8,995
D3D4=(-52/11;0;0); D4D1=(4/11;-48/11;12/11)
D3D4xD4D1 = (0;624/121;2496/121)
|D3D4xD4D1|/2 = 10,63
Also ist die Fläche des Trapezes 8,995+10,63=19,625
2:
Der obere Teilkörper ist wieder eine Pyramide, also gilt auch hier: Volumen=Grundfläche mal Höhe drittel.
Die Grundfläche haben wir in 1: ja schon berechnet. Für die Höhe müssen wir die Projektion anwenden: einen beliebigen Vektor von der Grundfläche zur Spitze in den Normalvektor der Ebene projezieren.
Als Vektor nehme ich D1S=(2;2;6) und der Normalvektor n ist gleich (0;1;4)
h=D1S*n/|n|=26/wurzel(17=6,306
Somit Voben=h*G:3=41,252
Das Untere Volumen berechnet man am besten, indem man vom ganzen Volumen das obere Volumen subtrahiert.
Das Volumen der ganzen Pyramide ist schnell berechnet. Grundfläche: 6²=36; Höhe: 9; Vganz=108
Vunten=Vganz-Voben=66,748
unbedingt selber nachrechnen! Ich habe kein Ergebnis nachgerechnet und ein Rechten- bzw Tippfehler ist schnell passiert. |
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