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Boris
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 12:09: | 
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Hallo Leute!
also es wäre mir echt sehr geholfen wenn ihr mir hier weiterhelfen würdet!
Bitte versucht es!
Mein Problem:
Gegeben ist ein Kreis:k:x²+y²+4x-6y-32=0
A=(a>0;6)ist ein Punkt dieses Kreises.M ist der Mittelpunkt. Gesucht ist die Gleichung eines weiteren Kreises der die Gerade MA im Punkt M berührt und durch den Punkt B=(-4/1) geht.
Also ich hab für A=(4/6)rausbekommen aber jetzt weiss ich nicht mir weiter! bitte helft mir!!
vielen dank! |
gofal
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 17:44: |
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Hi Boris!
Als nächstes wird wohl der Mittelpunkt fällig! Wenn du eine Kreisgleichung (x-a)²+(y-b)²=r² hast, dann ist (a/b) der Mittelpunkt (ich hoffe, das ist noch klar).
Wenn du diese Gleichung ausquadrierst, dann kommt heraus: x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² - r² = 0.
Also x² - 2ax + y² - 2by + ... = 0
Das ist delhalb wichtig, weil darum die Zahl, die beim x dabeisteht, gleich -2a sein muß, und die Zahl, die beim y steht ist -2b. Das heißt für unser Beispiel, daß 4=-2a (also a=-2) und -6=-2b (also b=3) sind.
Nun haben wir den Mittelpunkt M=(-2/3) gefunden.
Der gesuchte Kreis berührt die Strecke AM im Punkt M. Anders gesagt: AM ist eine Tangente mit dem Tangentialpunkt M. Solche Punkte haben die Eigenschaft, daß die Strecke Kreismittelpunkt-Tangentialpunkt mit der Tangentialgerade einen rechten Winkel einschließen.
Wenn wir also einen Vektor Normalvektor auf die Strecke AM durch den Punkt M hindurch verlängern, erhalten wir eine Gerade, auf der der Mittelpunkt des gesuchten Kreises liegen muß.
MA=(4/6)-(-2/3)=(6/3)=3*(2/1)
die Gerade, auf der der Kreismittelpunkt liegen muß, ist X=(4/6)+t(-1/2) , oder 2x+y=-1
Der gesuchte Kreis muß außerdem durch den Punkt B laufen. Wir wissen also schon zwei Punkte, durch die der Kreis laufen muß, nämlich B und M. Das wiederum heiß, daß der Mittelpunkt des gesuchten Kreises von B und von M den gleichen Abstand haben muß (nämlich genau den Radius des gesuchten Kreises). Und alle Punkte, die von zwei festen Punkten den gleichen Abstand haben, bilden eine Gerade, die genau zwischen den beiden Punkten hindurchverläuft.
Wir müssen nun eben diese Gerade suchen.
Wenn sie genau zwischen B und M verläuft, dann geht sie durch (B+M)/2=(-3/2). Und der Richtungsvektor dieser Gerade muß normal auf den Richtungsvektor BM sein.
BM=(-2/3)-(-4/1)=(2/2)=2*(1/1)
also gilt für die Gerade X=(-3/2)+t(1/-1) oder x+y=-1.
Nun fassen wir zusammen: Aus der Angabe, daß der gesuchte Kreis die Strecke AM berührt, haben wir herausgefunden, daß der Kreismittelpunkt auf der Geraden 2x+y=-1 liegen muß.
Und aus der Angabe, daß der Kreis durch den Punkt B läuft, haben wir berechnet, daß der Mittelpunkt auch auf der Geraden x+y=-1 liegen muß.
Daraus folgt klarerweise, der gesuchte Kreismittelpunkt ist dort, wo sich diese beiden Geraden schneiden:
2x+y=-1
x+y=-1 => x=-1-y
=> 2(-1-y)+y=-1
-2-2y+y=-1
y=-1 => x=0
Der Mittelpunkt des gesuchten Kreises ist (0/-1). Den Radius des gesuchten Kreises berechnet sich durch den Abstand von (0/-1) zu M oder von (0/-1) zu B (müßte beidesmal das selbe rauskommen), nämlich r=wurzel aus 20.
die Kreisgleichung:
(x-0)²+(y+1)²=20
x²+y²+2y-19=0 |
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