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Beitrag |
    
Conny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 17:55: | 
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Ich verzweifle an dieser Abituraufgabe. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Eine Funktion f ist gegeben durch f(x) = x³ - 2tx² + t²x ; x Î R, t>0.Ihr Schaubild sei K
a) Alle Kurven K haben einen Punkt A gemeinsam. Gib die Koordinaten von A an. Ermittle die Gleichung der Kurve, auf der die Wendepunkte aller Kurven K liegen
b) Die Kurve K, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x= (1/3) t schließen eine Fläche ein. Die Kurve C : y = 4x³ teilt diese Fläche in zwei Teilflächen. Zeige, dass das Verhältnis der Inhalte der Teilflächen unabhängig von t ist .
c) Die Tangente an K im Wendepunkt W schneidet die x- Achse in R, die y-Achse in S. Berechne den Inhalt A(t) des Dreiecks ORS. Die Normale in W schneidet die y-Achse in M. Berechne den Inhalt B(t) des Dreiecks SMW. Für welchen Wert von t ist A(t) = B(t)?
Ich brauche auch einen ausführlichen Rechenweg.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, denn ich komme da einfach nicht weiter! |
IQzero
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 23:36: |
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Hi Conny!
Ich habe die Aufgebe mal durchgerechnet und hoffe das ist Dir ausführlich genug.
a)
Alle Kurven haben A(0|0) gemeinsam. (ergibt sich bei der Errechnung der Nullstellen)
Die Kurve auf der alle WEPs liegen wird manchmal auch Ortslinie der Wendepunkte genannt. Um sie zu ermitteln nimmst Du die (notwendige) Bedingung für die Wendepunkte und stellst sie nach dem Parameter um. Das Ergebnis setzt Du dann für den Parameter in f(x) ein.
In diesem Fall erhält man:
f''(x) = 6x - 4t
Notw. Bed.: f''(x)=0
6x - 4t = 0
t = 3/2 x
für t in f(x) einsetzen:
Ortslinie: y = x³ -2(3/2 x)x² +(3/2 x)²x
=> y = 1/4 x^4
b)
Die Gerade x = 1/3 t ist eine Senkrechte an dieser Stelle.
Die Funktionen f(x) und g(x) = 4 x³ schneiden sich bei x = 0 und bei x = 1/3 t . In diesem Intervall gibt es keine weiteren Schnittstellen und f(x) liegt dort überhalb von g(x). Wenn man zeigen soll, dass das Verhältnis der genannten Teilflächen nicht von t abhängt, errechnet man am einfachsten beide Flächen, setzt sie ins Verhältnis (d.h. teilt die Flächen durcheinander). Wenn dann t herausfällt, so hat man es gezeigt.
Sei A die Fläche, unterhalb f(x) bis zur x-Achse im Intervall [0 ; 1/3 t]
Da ich hier schlecht bestimmte Integrale darstellen kann, arbeite ich direkt mir den Stammfunktionen.
F(x) = 1/4 x^4 -2/3 t x³ +1/2 t² x²
A = F(1/3 t) - F(0)
A = 11/324 t^4
Sei B die Fläche, unterhalb g(x) bis zur x-Achse im Intervall [0 ; 1/3 t]
G(x) = x^4
B = G(1/3 t) - G(0)
B = 1/81 t^4
Das gesuchte Teilverhältnis ist dann (A-B) / B = 7/4
(bitte noch mal nachrechnen ob wirklich 7 zu 4 rauskommt, das wichtige ist aber, dass überall t^4 vorkommt und dadurch hinterher nach dem teilen nur Zahlen überbleiben)
c)
Berechne den Wendepunkt
notw. Bed.: f''(x) = 0
6x - 4t = 0
x = 2/3 t
y = f(2/3 t)
y = 2/27 t³
W (2/3 t | 2/27 t³)
Die Wendetangente ist eine Gerade, hat also die Form y = mx + n . Die gesuchte Steigung m erhält man indem man die Wendestelle in die Ableitung von f(x) einsetzt.
m = f'(2/3 t)
m = -1/3 t²
Um nun noch den fehlenden y-Achsenabschnitt n zu bestimmen, setzt man m, x und y in die allgemeine Geradengleichung ein, wobei x und y vom Wendepunkt sind.
2/27 t³ = -1/3 t² 2/3 t + n
=> n = 8/27 t³
Wendetengente: y = -1/3t² x + 8/27 t³
S ist der Schnittpunkt mir der y-Achse, also S (0 | 8/27 t³)
R ist die Nullstelle der Wendetangente
0 = -1/3t² x + 8/27 t³
=> x = 8/9 t
also R (8/9 t | 0)
Wählt man beim Dreieck ORS die Seite auf der x-Achse als Grundseite, so liegt die dazugehörige Höhe auf der y-Achse und das Dreieck lässt sich dann einfach mit A = 1/2 g h berechnen.
A(t) = 1/2 8/9 t 8/27 t³
A(t) = 32/243 t^4
Auch die Wendenormale ist eine Gerade und lässt sich fast genauso wie die Wendetangente bestimmen, mit dem einzigen Unterschied, dass die Steigung der Normalen der negative Kehrwert der Tangentensteigung ist, da das Produkt zweier senkrechter Steigungen immer -1 ist.
Da die Tangentensteigung -1/3 t² war, muss die Normalensteigung +3/t² betragen. (ihr Produkt ist somit -1)
Wenn man wieder alles in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, dann ergibt sich:
2/27 t³ = 3/t² 2/3 t + n
=> n = 2/27 t³ - 2/t
Der errechnete y-Achsenabschnitt liefert den Punkt M:
M (0 | 2/27 t³ - 2/t)
Um die Fläche des Dreiecks SMW zu bestimmen, wählt man am besten SM als Grundseite. (man braucht dann nur die y-Werte der Punkte voneinander abzuziehen um die Länge zu erhalten) Die dazugehörige Höhe ist dann das Lot von W auf die y-Achse (also der x-Wert des Wendepunktes). Also ergibt sich für die Dreieckfläche nach der Formel von vorhin:
B(t) = 1/2 2/3t (8/27 t³ - (2/27 t³ - 2/t))
B(t) = 2/27 t^4 +2/3
gesucht ist das t für das die Flächen gleich gross sind:
A(t) = B(t)
32/243 t^4 = 2/27 t^4 +2/3
=> 14/243 t^4 = 2/3
=> t^4 = 81/7
=> t = (81/7)^1/4 (bzw 4. Wurzel)
=> t ~ 1,844
Das ist kein so schönes Ergebnis, vielleicht habe ich mich irgendwo verrechnet. Am Besten rechnest Du sowieso alles selbst durch.
Wenn es irgendwo zu schnell war oder Du noch Fragen zu den Lösungsansätzen hast, dann frag ruhig noch mal nach. |
Conny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 09:49: |
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Tja, da bin ich nochmal.
Danke Schön, die ganze Rechnung ist mir jetzt klar, nur eine Frage habe ich noch:Warum muss man bei Teil b) das Teilverhältnis mit (A-B) / B
berechnen und nicht mit A / B ? |
IQzero
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 16:10: |
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Hi Conny!
In dem Intervall verläuft f(x) über g(x). Die Gesamtfläche unter f(x) ist A. Diese Fläche wird durch g(x) geteilt. Die Fläche unterhalb von g(x) ist B. Dann bleibt für die Fläche oberhalb von g(x) nur noch A-B übrig. Das gesuchte Teilverhältnis ist deshalb (A-B) / B. |
Conny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 18:02: |
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Ein letztes Mal bedanke ich mich jetzt! |
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