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Johannes (Johnnie81)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Dezember, 2000 - 15:20: | 
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Erst mal danke für eure schnelle Antwort! Ich habe folgendes Problem: Man stelle sich einen Zylinder als Modell aus 2 paralleln Kreisen vor, die mit paralleln schnüren, die auf den Kreisen senkrecht stehen, verbunden sind. Vereinfacht gesagt: oben ein Kreis, unten ein Kreis, verbunden mit Schnüren, die den Mantel bilden. Verdreht man nun einen der Kreise, und behält die Parallelität des Deck- und Grundkreises bei, so entsteht ein einschaliges Rotationshyperboloid. Im Extremfall, bei einer 180 Grad Drehung, entstehen zwei Kegel mit der Spitze im Zentrum. Ich weiß, dass das Volumen des Hyperb. V = pi * h * a^2 * (1 + h^2/12b^2) ist. (Integralrechnung dy...) h ist natürlich die Höhe des Hyperb., und a und b sind die beiden Halbachsen der Hyperbel (wird deutlich beim Querschnitt durch's Zentrum). Die Formel für den Radius des Deckkreises ist r^2 = a^2 * (1 + h^2/4b^2). Dieser bleibt ja immer const. Daraus ergibt sich die Volumenformel für's Hyperb. V = pi*h/3 * (2a^2 + r^2)
Die Formel für den entsprechenden Vollzylinder ist r^2*pi*h und für den Doppelkegel r^2*pi*h*2/3. Dabei entspricht r immer der obrigen Gleichung. Meine Fragen sind nun, wie Verhält sich das Volumen in Abängigkeit eines Verdrehungswinkel phi, und wie kann man zuerst einmal durch Grenzwertrechnung (evtl. b-> unendl.)die Formeln für Zylinder, Hyperboloid und Doppelkegel in Zusammenhang bringen? Wäre echt Klasse, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Januar, 2001 - 21:24: |
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Hi Johannes,
Die von Dir angegebene Formel für das Volumen V
des einschaligen Rotationshyperboloids ist richtig;
es gilt, wie angegeben:
V = Pi * h / 3 * ( 2 a ^ 2 + r ^ 2 ) .
Dabei ist h die Gesamthöhe und r der Radius des
Grundkreises sowie des Deckkreises ; a ist der
Radius des kleinsten Parallelkreises,
des sogenannten Kehlkreises.
Damit weitergehende Schlussweisen verständlicher
werden, soll die Formel in einem zweiten Teil
mit Integralrechnung noch hergeleitet werden..
Auffallend am Ergebnis ist dies:
Das Volumen kann mit derselben Formel gewonnen
werden, wie sie in der Stereometrie für Prismatoide
benützt wird.
Dort gilt V = h / 6* [ G + 4 M +D ] mit
Grundfläche G = Pi * r ^ 2
Deckfläche D = Pi * r ^ 2
Mittelschnitt (in halber Höhe) M = Pi * a ^ 2
Wir fassen V bei konstanter Höhe h und konstantem Radius
r von Grund- und Deckkreis als eine Funktion V =V(a) des
Radius a des Kehlkreises auf, wobei für a das Intervall gilt
0 < = a < = r
Das Hauptaugenmerk wird den Intervallenden gewidmet sein.
Ohne weitere Umstände stellen wir fest
:
a)V ( 0 ) = Pi* r^2 * h / 3 :Volumen des Doppelkegels
(zwei kongruente Kegel der Höhe h/2)
b)V ( r ) = Pi * r^2 * h .Volumen des Zylinder der Höhe h.
Damit V als Funktion eines geeigneten Winkels dargestellt
werden kann ,mit dem auch die Grenzübergänge
durchgeführt werden können,
müssen noch ziemlich umfangreiche Vorbereitungen getroffen
werden.
Dabei wird sich der Asymptotenkegel des einschaligen
Hyperboloids als nützlich erweisen.
Dies alles soll in einer Fortsetzung bearbeitet werden.
Bis dann !
Freundliche Neujahrsgrüsse
H.R.Moser,megamath, |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 13:27: |
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Hi Johannes,
Es folgt nun eine Herleitung der Volumenformel für
die vorgegebenen Daten r , h , a.
Wir gehen aus von der in der (x,z)-Ebene eines
(x,y,z)-Koordinatensystems liegenden Hyperbel
b ^ 2 * x ^ 2 - a ^ 2 * z ^ 2 = a ^ 2 * b ^ 2 mit den
Halbachsen (a = OA "reelle" Halbachse ,A(a/0):Scheitel)
und b.
Diese Hyperbel lassen wir um die z-Achse rotieren ;
sie erzeugt dabei das einschalige Rotationshyperboloid
mit der Gleichung:
x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / a ^ 2 - z ^ 2 / b ^ 2 = 1.
Zwischen den Halbachsen a und b besteht eine Relation,
wenn wir gemäss der Aufgabenstellung fordern, dass die
Hyperbel durch den Punkt P in der (x,z)-Ebene geht,
dessen Koordinaten wie folgt fixiert sind:
xP = r , zP = ½ h.
P beschreibt bei der Rotation einen Parallelkreis (Deckkreis)
vom Radius r, der Scheitel A den Kehlkreis vom Radius a.
Um die genannte Relation herzuleiten, drücken wir mittels der Hyperbelgleichung b durch a, h und r aus:
b^2 * r ^2 - a^2 * h^2 / 4 = a^2 * b^2 wird nach b aufgelöst:
b^2 = [a^2 * h^2 ] / [4*(r^2 - a^2)].....................................(1)
Dabei gilt : 0 < = a < = r
Das halbe Volumen ½ V ergibt sich als Integral
½ V = Pi * int [x^2* dz ] ,untere Grenze 0 , obere Grenze ½*h.
mit x^2 aus der Hyperbelgleichung :
x^2 = a^2 * (b^2 + z^2) / b^2
Wir erhalten nach einer kleinen Rechnung:
V = Pi * a^2 / b^2 * h * [b^2 + h^2 /12] und unter Verwendung
von (1):
V = Pi / 3 h * { 2 * a^2 + r^2 }........................................................(2)
Dieses Resultat haben wir schon im ersten Teil kurz besprochen.
Um weiter zu kommen, müssen wir unser Grundwissen über das
einschalige Hyperboloid auffrischen.
Themen:
Regelfäche, insbesondere windschiefe Regelflächen ;Grenzfälle
Scharen erzeugender Geraden auf der Fläche (Rolle der Schnüre)
Eigenschaften des Asymptotenkegels u.s.w.
Behandlung dieser Themen später in einer Fortsetzung !
Bis dann
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Johannes (Johnnie81)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 13:57: |
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Hallo H.R.Moser,megamath.!
Danke für die bisherige Hilfe. Bei der ersten Antwort stellt sich aber doch folgendes Problem: V wird als Funktion gesehen mit variablem a. r hängt nun ja aber auch von a und b ab. r^2 = a^2 * (1 + h^2/4b^2). Verändere ich nun das a (z.B. a -> 0 => Doppelkegel), so verändere ich ja auch damit verbunden das r. r soll aber konstant sein. Man kommt zwar auf die Formel eines Zylinders, aber ist es auch der mit dem geforderten Radius? Ich könnte mir das nur so erklären, dass mit Abnahme von a gleichzeitig das b so zunimmt, dass der Radius wieder konstant ist, das ist aber natürlich eine aus der Luft gegriffene und unbewiesene Erklärung. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 14:52: |
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Hi Johannes,
Es folgt nun der dritte und letzte Teil meiner Ausführungen
zu Deinem interessanten Thema .
Zunächst betrachten wir die im zweiten Teil eingeführte
Hyperbel in der (x,z)-Ebene etwas näher.
Diese Hyperbel geht durch den festen Punkt x = r , z = h /2 .
Dadurch ist eine Relation zwischen den Halbachsen a und b
festgelegt, nämlich die mit (1) bezeichnete Gleichung
b^2 = a^2* h^2 / [4*(r^2 - a^2)]....................................(1)
Diese Relation ist von entscheidender Bedeutung.
Sie gibt uns die Steigung einer Asymptote der Hyperbel
als Funktion der Halbachse a der Hyperbel.
Wird der (spitze) Richtungswinkel einer dieser Asymptoten
mit der positiven x-Achse mit phi bezeichnet, so gilt:
m = tan (phi) = b / a = a * h / [2*wurzel(r^2 - a^2)] .....(3)
Dabei gilt nach wie vor 0 < a < r
Wir lösen nun diese Gleichung nach der Variablen a auf:,
mit anderen Worten:
Die Halbachse a der Hyperbel soll als Funktion der Steigung m
der Asymptote ausgedrückt werden, dies alles bei vorgegebenen
und daher konstanten Werten von r und h.
Aus der bruchfreien Beziehung 4*m^2 * (r^2 - a^2) = h^2
folgt schliesslich.:
a ^2 = ( 4 m^2 * r^2 - h^2 ) / ( 4 m ^2 )............................(4)
Wir setzen diese Term in die früher gewonnene Formel (2)
Für das Volumen des Rotationshyperboloides ein und erhalten
nach gehöriger Umformung als HOEHEPUNKT
unserer Ausführungen:
V = Pi * h / 3 * [ 3 * r^2 - h^2 / (2 * m ^ 2 ) ]..................(5)
Diese Form ist auch fit für unsere Spezialfälle
1.
m strebt gegen unendlich ( phi gegen 90°)
Dabei strebt V gegen das Zylinderdvolumen V = Pi * h * r^2
2.
m strebt gegen h / (2r), die Hyperbel ist degeneriert ,
indem sie auf das Geradenpaar der Asymptoten reduziert ist
( Der Punkt x = r , z = h / 2 liegt auf einer der Asymptoten)
V strebt gegen das Kegelvolumen V = Pi* h * r ^ 2 / 3 (!!)
Damit ist alles klar und vielleicht auch nicht: tant pis !
Wir kehren nun zum Haupdarsteller ,dem einschaligen
Hyperboloid , zurück.
Wir erwähnen einige der angekündigten Eigenschaften,
dieses Hyperboloides:
Es gehört zu den windschiefen Regelflächen,
die nicht abwickelbar sind , im Gegensatz zu den beiden
Grenzfällen Zylinder und Kegel, die beide auch zu
den Regelflächen gehören, aber abwickelbar ( developpabel )
sind.
Das einschalige Hyperboloid ist von zwei Geradenscharen
überzogen.
Jede der Scharen enthält unendlich viele Geraden
Die Geraden einer Schar sind unter sich windschief,
aber jede Gerade der einen Schar schneidet jede Gerade
der anderen Schar in einem Punkt P der Fläche und es sind
justement diese Geraden , welche die Tangentialebene
der Fläche im Punkt .P aufspannen.
Die Asymptoten der Hyperbel beschreiben bei der Rotation
um die z-Achse den sogenannten Asymptotenkegel.
Die Gleichung dieses Kegels lautet:
x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / a ^ 2 - z ^ 2 / b ^ 2 = 0
(vergleiche dies mit der Gleichung des Hyperboloides,
bei welcher rechts eine eins steht !)
Der halbe Oeffnungswinkel alpha dieses Kegels ist gerade der
Komplementärwinkel des weiter oben eingeführten und
benützten Winkels phi! (alpha = 90°- phi)
Es gilt nun dar bemerkenswerte Satz, der für das Verständnis
unsere Aufgabe von entscheidender Bedeutung ist
Er lautet:
Jede Gerade (Erzeugende ) des einschaligen Hyperboloides
ist zu einer Mantellinie des Asymptotenkegels parallel.
Somit ist der oben benützte Winkel phi nichts anderes als der
Neigungswinkel einer Erzeugenden (Schnur) bezüglich der
(x,y)- Ebene
Anmerkung
Der erwähnte Satz gilt für alle einschaligen Hyperboloide ,
also nicht nur für die Rotationshyperboloide
Ich glaube ,dass sollte genügen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Andi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 19:06: |
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Nun gut, ich versteh zwar nicht viel von dem, was ihr da schreibt. Das ist vielleicht schlecht,weil ich zu dem gleichen Thema eine Facharbeit schreiben muss. Allerdings legt mein Lehrer nicht so viel Wert auf "Fachchinesisch". Ich hab das Volumen in Abhängigkeit vom Drehwinkel phi schon berechnet. Die Formel lautet V=1/3 r^2*pi*h*(2+cosphi). Aber wahrscheinlich habt ihr das sowieso schon. Falls es trotzdem irgendwen interessiert wie ichs berechnet habe, kann er ja Bescheid sagen. |
Johannes (Johnnie81)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 21:17: |
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Hallo H.R.Moser,megamath.!
Ich sag noch mal vielen Dank für die Bemühungen!
Ich hätte aber dennoch zwei Anmerkungen: Die erste hab ich bereits in meiner letzten Antwort geschrieben. Dabei geht es um die Beziehung von r und a, dass ja auch r verändert wird, obwohl es konstant bleiben soll. (siehe letzte Antwort!)
Das zweite wäre, dass die endgültige Formel von einem Winkel phi abhängt, der der Neigung einer erzeugenden Schnur entspricht. Die Aufgabe bezieht sich aber auf einen Winkel, der die Drehung eines der Beiden Kreise misst. d.h. Wenn ich z.B. den Deckkreis um 90 grad drehe, entsteht der Doppelkegel. Ich meine also den Winkelunterschied bzw. den Bogen, den ein Punkt P, der sich auf dem Deckkreis befindet zurücklegt, wenn ich den Deckkreis drehe. Das ist doch ein anderer Winkel, oder ist es so, dass ich die Erklärung noch nicht ganz durchblicke?!?
Wäre sehr dankbar, wenn sie nochmal kurz auf meine zwei Fragen eingehen würden.
Hallo Andi!
Mich würde es auf alle Fälle interessieren, wie du die Formel hergeleitet hast! Du könntest mir auch eine private Mail schreiben (a0163388@addcom.de), ich schreibe nämlich auch gerade zu diesem Thema meine Facharbeit, wie du ja sicher schon bemerkt hast! :-)
Also tschüss zusammen! |
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