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Beitrag |
    
Jenni (Janoschine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Dezember, 2000 - 20:32: | 
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Hi Leutis!
Wer kann mir bitte sagen,wie man den Spiegelpunkt von A bezüglich einer Geraden im Räumlichen KS bestimmt?Danke!!! |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Dezember, 2000 - 20:48: |
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Du fällst das Lot von dem Punkt auf die Gerade (mit etwas Vektorgeometrie sollte das kein Problem sein) und bestimmst den Punkt auf den das Lot auf die Gerade trifft |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Dezember, 2000 - 18:19: |
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Hi Jenni,
Deine Frage zur Spiegelung eines Punktes an einer Geraden
im R3 muss subtil angegangen werden, weil sie von
grundsätzlicher Bedeutung ist.
Zuerst bringe ich zwei durchgerechnete numerische Beispiele;
anschliessend zeige ich Dir die allgemeine Lösung mit den
zugehörigen Abbildungsgleichungen, wobei dieser Teil etwas
anspruchsvoll ist und fürs erste auch ignoriert werden kann.
Bezeichnungen
a sei die Spiegelungsachse, P der Originalpunkt,
P ' der Bildpunkt ( gespiegelter Punkt )
Erster Teil
Lösungsidee:
Durch P wird die zu a senkrechte Ebene (Normalebene)
gelegt und mit a im Punkt S geschnitten.
Um P ' zu bestimmen, hat man einfach dafür zu sorgen,
dass S der Mittelpunkt der Strecke P P' ist.
Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Koordinaten von S
die arithmetischen Mittel der entsprechenden Koordinaten
von P und P' sind, wenn also
xS = ½ (xP +xP') , d.h. xP' = 2*xS - xP gilt
(Analoges für die y- und z-Koordinaten !)
1.Beispiel.
Die Achse a geht durch den Nullpunkt O und hat die
Koordinatengleichung: x = t , y = 2 t , z = 2 t
P sei der Punkt P(16 / 1 / 0 )
r = {1;2;2} ist ein Richtungsvektor von a und daher ein
Normalenvektor der Ebene E
Gleichung von E : x + 2 y + 2 z = 18 (beachte: E geht durch P)
Schnittpunkt S von a mit E:
Einsetzen der Koordinaten von a in die Ebenengleichung:
t+4t+4t = 18, daraus t=2 ,eingesetzt in die Gleichung für a
Gibt den Schnittpunkt S( 2 / 4 / 4 ) ,also gemäss den
Ausführungen im Vorspann:
xP' = 2*2 - 16 = - 12, y P' = 2*4 - 1 = 7 , z P'= 2*4 - 0= 8:
P' (-12 / 7 / 8)
2.Beispiel
Der rechnerische Ablauf ist zum Beispiel 1 analog
Die Achse gehe nicht durch O ; sie hat die Gleichung:
x = -10 + t , y = 2 + 2 t , z = 3 + 2t
P sei der Punkt P (6 / 3 / 3 ).
Gleichung von E: x + 2y + 2z = 18 ; Schnittpunkt S von a mit E:
mit t = 2 kommt S (- 8 / 6 / 7 ) .
Daraus P ' (- 22 / 9 / 11 )
Fortsetzung mit Teil 2 im neuen Jahr !
Mit den besten Wünschen fürs neue Jahr
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Januar, 2001 - 18:21: |
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Hi Jenni,
Es folgt nun der zweite Teil meiner Ausführungen
zur Spiegelung an einer Achse a
Die allgemeine Formel in vektorieller Schreibweise
für den Fall, dass die Achse a durch den Nullpunkt O
des rechtwinkligen Koordinatensystems geht
lautet:
v ' = 2 ( v .ao) * ao - v ; ........................................(I)
dabei bedeuten
(O als Anfangspunkt der Ortsvektoren )
v ist der Ortsvektor des Originalpunktes P
v ' ist der Ortsvektor des Bildpunktes P '
ao ist Einheitsvektor in Richtung der Spiegelungsachse a
v.ao ist das Skalarprodukt der Vektoren v und ao .
Die Herleitung dieser Abbildungsgleichung ist nicht
schwierig; gleichwohl lassen wir sie weg.
Nur soviel: der Vektor ½* ( v + v' ) ist der Ortsvektor
des Mittelpunktes S der Strecke PP' .
Anwendung der Formel (I) auf unser Beispiel 1 aus
dem ersten Teil.
Gegeben sind:
v = {16;1;0}, ao = 1/3*{1;2;2},
daraus: v.ao = 1/3 * (16 + 2 + 0 ) = 6
v' = 2 * 6* 1/3 * {1;2;2}- {16;1;0} = {-12;7;8}, daraus
P ' (-12 / 7 / 8 ) wie zuvor.
Herleitung der allgemeinen Abbildungsgleichungen
mit Koordinaten
Eine nützliche Schreibweise des Einheitsvektors ao ist
diejenige mittel der sogenannten
Richtungskosiuswerte:
ao = {cos (alpha) ; cos (beta ); cos (gamma)} ,
wobei
alpa, beta, gamma die Winkel des Vektors ao mit den
positiven Koordinatenachsen darstellen;
es gilt eo ipso:
[cos (alpha)] ^ 2 + [cos (beta)] ^ 2 + [cos (gamma)] ^2 = 1
Aus (I) folgt durch fleissige Rechnung Komponente
für Komponente:
x' = [2 {cos (alpha)} ^2 - 1] * x + 2 cos(alpha) * cos(beta) * y
+ 2 cos (alpha) * cos(gamma) * z
y' = 2 cos(alpha)*cos(beta) * x + [2 {cos(beta)}^2-1] * y
+2 cos(beta) * cos (gamma) * z
z' = 2 cos(alpha)* cos(gamma) * x + 2 cos(beta) * cos(gamma) * y
+[ 2{cos(gamma)}^2 - 1] * z
....................................................................................................(II)
Anwendung dieser Formeln (II) auf Beispiel 1:
Es gilt : cos (alpha) = 1/3 , cos (beta) = 2/3, cos (gamma) = 2/3
wie man leicht herausfindet.
Weiter:
x ' = 1 / 9 * [- 7 x + 4 y + 4 z ]
y ' = 1 / 9 * [ 4 x - y + 8 z ]
z ' = 1 / 9 * [ 4 x + 8 y - z ]
setzt man noch x = 16 , y = 1 und z = 0 ein, so erhält man
x ' = -12 , y ' = 7 , z ' = 8 wie früher.
Anmerkung
Die Spiegelung an einer Geraden im R3 kann auch als
Drehung um a mit dem Drehwinkel 180° aufgefasst werden.
Die bekannten Drehformeln von Cayley versagen aber in
diesem speziellen Fall.
In die Lücke springen die Formeln (I) und (II) .
So weit !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Jenni (Janoschine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 13:06: |
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Vielen Dank für deine Hilfe!Hoffentlich kriege ich das hin!P.S.:Frohes neues
Jahr!!!] |
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