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Chris
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Dezember, 2000 - 13:04: | 
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Hey ihrs, wie bilde ich zu der Gleichung
f(x)=(s^3*x^4+2)/(3s+4x-2)
die Stammfkt.
vielen Dank im voraus
MfG Chriss
& guten Rutsch ins neue Jahr... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Dezember, 2000 - 19:54: |
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Hi Chris,
Bevor wir Deine Funktion f(x) integrieren können ,
zerlegen wir sie in mehrere Summanden
(am Schluss werden es 10 an der Zahl sein ).
Zuerst spalten wir den Summanden f2(x) = 2 / (3s +4x-2) ab.
Es bleibt f1(x) = s ^ 3 * x ^ 4 / (3s + 4x -2) übrig.;
Pro memoria: es gilt somit
f(x) = f1(x) + f2(x)
f1(x) dividieren wir aus und erhalten dafür:
f1(x) = q(x) + r(x)/ n(x) mit
Nenner n (x) = 4x + 3s -2
Quotient q(x) = ¼ s^3 x^3 - 1/16 ( -2 +3s ) s^3 x^2
+ 1/64 ( 4- 12 s + 9 s^2) s^3 x
- 1 / 256 (-8 +36 s - 54 s^2 + 27 s^3) s^3
(Beachte die Regelmässigkeit !)
Rest r(x) = 1 / 256 (16 - 96 s + 216 s^2 - 216 s^3 +81s^4) s^3.
(dies passt durchaus in den Rahmen !)
Kontrolle mit einem CAD-System (Maple)
Eingaben:
z:= s^3*x^4;n:=4*x+3*s-2;
q:=quo(z,n,x);
r:=rem(z,n,x); Anm.: rem bedeutet: remainder,Rest
Ausgaben für q und r wie oben.
Probe
simplify(q*n +r); ergibt: s^3 x^4, wie es sein muss!
Wir haben alle angekündigten Summanden beieinander
und können gliedweise nach x integrieren
Ergebnis Stammfunktion J
J = 1/16s^3 x^4 -1/48(-2+3s)s^3 x^3 +1/128(4-12s+9s^2)s^3 x^2
-1/256(-8 + 36 s -54 s^2 + 27 s^3 ) s^3 x
+1/64 ln(4x+3s-2) s^3 -3/32 ln(4x +3s -2)s^4
+27/128 ln(4x+3s-2) s^5 -27/128 ln(4x + 3s -2)s^6
+ 81/1024 ln(4x + 3s -2)s^7
+ ½ ln(4x+3s-2) + C(konst.)
Gruss und gute Wünsche für Neujahr
H.R.Moser,megamath. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Dezember, 2000 - 00:18: |
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Hi Chris
Zerleg die Funktion mit Polynomdivision in ein Polynom und einen
Restsummanden. Das Polynom lässt sich sehr einfach integrieren, und der
Restsummand hat im Nenner nur einen Linearteilteil, daher ist die
Stammfunktion der Logarithmus.
viele Grüße
SpockGeiger |
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